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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 31

Use uma série de potência para aproximar a integral definida com seis casas decimais.

31.

∫ 0 0,2 x ln ⁡ 1 + x 2 d x

Passo 1

Fala, gente bonita!

Nesse exercício iremos analisar a seguinte integral, transformando a função numa série de potência e o resultado com seis casas decimais. Tranquilo, né?

∫ 0 0,2 x ln ⁡ 1 + x 2 d x

Dessa forma, podemos reescrever o termo dentro da integral com o auxílio do exemplo 6 dessa mesma seção, ou seja, derivando

f x = ln ⁡ 1 + x 2

f x ' = ⁡ 1 1 + x 2

Vamos tentar colocar essa nova função com a cara da nossa série geométrica:

1 1 - ( - x 2 )

Epa! Encontramos nossa série de potência:

∫ x l n 1 + x 2 d x

∫ ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x 2 n n d x

Que podemos reescrever como:

C + ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x 2 n + 2 n ( 2 n + 2 )

Passo 2

Agora, resolvendo a integral definida, temos:

I = ∫ 0 0,2 x l n 1 + x 2 d x

Substituindo a série de potência, em n por 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   …

x 4 1 ( 4 ) - x 6 2 6 + x 8 3 8 - x 10 4 10 + … 0 0,2

0,2 4 4 - 0,2 6 12 + 0,2 8 24 - 0,2 10 40 + …

Podemos notar que essa é uma série alternada, então, se usarmos os dois primeiros termos, o erro será, no máximo de 0,2 8 24 ≅ 1,1.10 - 7 , o que é menor do que a precisão pedida no enunciado, sendo assim:

I = 0,2 4 4 - 0,2 6 12 ≈ 0,000395

Resposta

∫ 0 0,2 x ln ⁡ 1 + x 2 d x ≈ 0,000395

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