Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.3 - Ex. 43

Calcule a integral.

∫ 0 π f x d x ,     o n d e   f x = sin ⁡ x ,     s e   0 ≤ x ≤ π 2 cos ⁡ x ,     s e π 2 ≤ x ≤ π

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi pedido para calcularmos a integral:

∫ 0 π f x d x

Mas f x é uma função definida por partes:

f x = sin ⁡ x ,     s e   0 ≤ x ≤ π 2 cos ⁡ x ,     s e π 2 ≤ x ≤ π

Tem ideia de como fazemos isso?

Bom... temos que integrar f x entre 0 ≤ x ≤ π . Mas no intervalo 0 , π 2 a função assume uma característica e no intervalo π 2 , π a função assume outra característica.

Nesses casos, temos que separar a integral em partes, assim como a função.

Ou seja: se

f x = g x ,     s e   a ≤ x ≤ b h x ,     s e   b ≤ x ≤ c

Temos que:

∫ a c f x d x = ∫ a b g x d x + ∫ b c h x d x

Sacou? Veja só!

Passo 2

De 0 a π / 2 , f x = sin ⁡ x e de π / 2 a π , f x = cos ⁡ x , então:

∫ 0 π f x d x = ∫ 0 π 2 sin ⁡ x d x + ∫ π 2 π cos ⁡ x d x

Vamos resolver cada integral separadamente...

Pelo teorema Fundamental do Cálculo:

∫ sin ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C

Então aplicando os limites de integração, vamos obter:

∫ 0 π 2 sin ⁡ x d x = - cos ⁡ π 2 + C - - cos ⁡ 0 + C

∫ 0 π 2 sin ⁡ x d x = - 0 + C - - 1 + C

∫ 0 π 2 sin ⁡ x d x = 1

Show?

Passo 3

Agora vamos olhar para a outra integral...

Pelo TFC:

∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + C

Então aplicando os limites de integração...

∫ π 2 π cos ⁡ x d x = sin ⁡ π + C - sin ⁡ π 2 + C

∫ π 2 π cos ⁡ x d x = 0 + C - 1 + C

∫ π 2 π cos ⁡ x d x = - 1

Juntando as duas integrais na integral de f x :

∫ 0 π f x d x = ∫ 0 π 2 sin ⁡ x d x + ∫ π 2 π cos ⁡ x d x

∫ 0 π f x d x = 1 - 1

∫ 0 π f x d x = 0

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ 0 π f x d x = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calculeint_1^2 (x^3 + x + (1)/(x^3)) d x
Calculeint_0^1 (1)/(1 + t^2) d t
Calculeint_(- 1)^1 e^(2 x) d x
Calculeint_0^((pi)/(4)) sin x d x
Calculeint_0^1 sin 5 x d x