Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 46
Calcule a integral.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral definida:
Para isso, devemos calcular primeiro a integral indefinida para encontrar a primitiva e, depois, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo que diz que você pode fazer isso encontrando uma primitiva de e então avaliando nos pontos e . A fórmula é:
Se for contínua em , ou seja, não tenha saltos e nem quinas.
Mas péra lá que temos uma função módulo, como trabalhamos com ela??
Calma, só precisamos analisar esse módulo e vai dar tudo certo.
Veja bem, o intervalo de integração vai de a , e a função dentro do módulo é a função seno, precisamos separar a parte positiva da negativa e para isso, vamos usar a seguinte propriedade, que combina integrais da mesma função em intervalos adjacentes:
Assim, o que temos que fazer é separar essa integral, em uma região onde o seno é positivo e outra região em que o seno é negativo.
E por fim as primitivas que vamos precisar usar, que são tabeladas:
Agora bora aplicar!! 😉
Passo 2
Para o intervalo de integração de a temos que a função seno é positiva, então usamos , já no intervalo de a a função seno é negativa, assim , nessa hora o gráfico da função pode ajudar a gente:
Montando na nossa primitiva:
Note como a primeira vai se a e a segunda de a .
Viu? Agora fica simples de resolver, vamos lá!
Passo 3
Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:
Vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:
E não esqueça as constantes! ☹
Passo 4
Pronto, já encontramos a integral indefinida!!
Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Ficamos então com:
Integrando cada uma:
Toma bastante cuidado na hora de calcular esses cossenos, às vezes a gente perde ponto na prova por um sinalzinho errado!