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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.4 - Ex. 43

Calcule a integral.

∫ 0 1 3 t 2 - 1 t 4 - 1 d t

Passo 1

E aí, galera 😎!

Nessa questão, precisamos calcular a integral definida

∫ 0 1 3 t 2 - 1 t 4 - 1 d t .

✏️ Anota aí: O intervalo de integração [ a ,   b ] é igual a 0 ,   1 3 e o integrando é a função

f t =   t 2 - 1 t 4 - 1 = t 2 - 1 ( t 2 - 1 ) ( t 2 + 1 )

ou seja,

f t = 1 t 2 + 1 .

Reescrever o integrando dessa forma vai facilitar o nosso trabalho, beleza 😉?

🛠️ Sabendo disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

  • Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo: se a função f é contínua no intervalo [ a ,   b ] então

∫ a b f t d t = ∫ f t d t a b

onde ∫ f t d t é a primitiva da função f , ou seja,

d d t ∫ f ( t ) d t   = f t .

  • A integral indefinida da função f t = 1 t 2 + 1 é conhecida (Tabela de Integrais Indefinidas) e dada por

∫ 1 t 2 + 1   d t = a r c t g t + C ,

onde C é uma constante qualquer.

Bem, isso é tudo o que precisamos para resolver a questão!

👀 No próximo passo, vamos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar o valor da integral procurada.

Bora lá!

Passo 2

Usando a Parte 2 do Teorema Fundamental, temos que:

∫ 0 1 3 1 t 2 + 1 d t =   ∫ 1 t 2 + 1 d t 0 1 3 .  

Como dito no Passo 1 , vale que

∫ 1 t 2 + 1   d t = a r c t g t + C ,

logo, calculando o valor da integral indefinida nos pontos extremos do intervalo de integração temos que:

Em t =   1 3

∫ 1 t 2 + 1 d t ​ t = 1 3 = a r c t g 1 3 + C ,

ou seja,

∫ 1 t 2 + 1 d t ​ t = 1 3 = π 6 + C .

Em t = 0

∫ 1 t 2 + 1 d t ​ t = 0 = a r c t g 0 + C ,

ou seja,

∫ 1 t 2 + 1 d t ​ t = 0 = C .

Substituindo na igualdade do Teorema e fazendo as contas, temos que:

∫ 0 1 3 1 t 2 + 1   d t = π 6 + C - C .  

Dessa forma, a integral procurada vale

∫ 0 1 3 t 2 - 1 t 4 - 1 d t = ∫ 0 1 3 1 t 2 + 1   d t = π 6 .

Resposta

A integral vale:

∫ 0 1 3 t 2 - 1 t 4 - 1 d t = π 6 .

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