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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 24

Calcule a integral.

∫ 0 1 x 3 7 d x

Passo 1

Oi, tudo certinho? Essa questão é tranquilinha, quer ver?

Precisamos calcular a integral

∫ 0 1 x 3 7 d x

Faremos isso usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

  • Se F é uma primitiva de f , ou seja, se F ' = f , então

    • ∫ a b f x d x = F x ​ a b =   F b - F a .

    Observe que no nosso caso a = 0 , b = 1 e f x = x 3 7 .

    Então, precisamos apenas encontrar uma primitiva F da função f   e fazer as contas necessárias, beleza?

    Para encontrar uma primitiva F da função f , vamos usar a Regra da Potência.

    Relembrando:

  • Uma primitiva da função x n é

x n + 1 n + 1

para n ≠ - 1 .

Bora lá ☺️!

Passo 2

Usando a Regra da Potência, temos que uma primitiva de

f x =   x 3 7

é dada por

F x =   x 3 7 + 1 3 7 + 1 = 7 10 x 10 7 .

Dessa forma, pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos que:

∫ 0 1 x 3 7   d x = F 1 - F 0 .

Porém, como

F 1 = 7 10 1 10 7 = 7 10

e

F 0 = 7 10 0 10 7 = 0 ,

então a integral procurada é:

∫ 0 1 x 3 7     d x = 7 10 - 0 = 7 10 .

Resposta

A integral procurada é:

∫ 0 1 x 3 7 d x = 7 10 .

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