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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 8

Nos Exercícios 5-14, utilize o teorema de Green para encontrar a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F e a curva C.

F = (x + y)i – (x2 + y2)j

C: O triângulo limitado por y = 0, x = 1 e y = x

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para resolver este exercício é importante saber duas definições. Veja a seguir.De acordo com o teorema 5 , página 398 , definimos circulação em sentido anti-horário de F ‾ ao redor do caminho C como sendo

∮     C F ‾ ⋅ T → d s = ∮     C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x x y .

De acordo com o teorema 4, página 397, definimos fluxo exterior de F ‾ através de C como sendo a integral dupla do d i v ⁡ F ‾ sobre a região R delimitada por C ,

∮     C F ‾ ⋅ n → d s = ∮     C M d y - N d x = ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y .

Passo 2

limitada por C : y = 0 , x = 1 , y = x ,Agora, você vai encontrar M e N : M = x + y e N = - x 2 + y 2 Assim, suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ x = 1 , ∂ M ∂ y = 1 e ∂ N ∂ x = - 2 x , ∂ N ∂ y = - 2 y

Passo 3

Dessa forma, para calcular a circulação no sentido anti-horário substituimos ∂ N ∂ x = - 2 x e ∂ M ∂ y = 1 em ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x x y e resolvemos a integral dupla, como segue:

∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x x y = ∬ R   [ - 2 x - 1 ] d x d y = ∫ 0 1   ∫ 0 x   ( - 2 x - 1 ) d y d x = ∫ 0 1   - 2 x 2 - x d x = - 7 6

Passo 4

Dessa forma, para calcular o fluxo exterior substituimos ∂ M ∂ x = 1 e ∂ N ∂ y = - 2 y em ∭ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y = ∬ R   [ 1 - 2 y ] d x d y = ∫ 0 1   ∫ 0 x   ( 1 - 2 y ) d y d x = ∫ 0 1   x - x 2 d x = 1 6

Resposta

Resposta nos passos.

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