Encontre as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.

r(t) = 2 * t^2 + (2 / 3 * t^3 - 2 * t) j

Passo 1

Fala ai galerinha. Vamos para mais uma questão! 😉

O nosso objetivo é calcular as componentes tangencial e a normal do vetor aceleração.

Como resolver isso?

Para as componentes tangencial precisamos encontrar a primeira e a segunda derivada da posição e jogarmos na equação da tangente.

E o vetor normal da aceleração teremos que calcular o produto vetorial entre a primeira e a segunda derivada.

É isso. Vamos começar! 😊

Passo 2

Queremos encontrar os vetores tangencial e normal. Para isso, primeiramente vamos calcular a primeira e segunda derivada de r.

r → ' = 4 t   i → + ( 2 t 2 - 2 )   j →  

A norma desse vetor é

r → ' = 4 t 4 + 8 t 2 + 4

E a segunda derivada de r é

r → ' ' = 4   i → + 4 t   j →

Passo 3

Podemos agora encontrar o vetor aceleração tangencial da seguinte forma:

a T = r → ' ⋅ r → ' ' | r → ' |

O produto escalar entre os dois vetores nos dá:

4 t , ( 2 t 2 - 2 ) ⋅ 4,4 t = 16 t + 4 t 2 t 2 - 2 = 8 t 3 + 8 t

Dessa forma temos que a aceleração tangencial é:

a T = 8 t 3 + 8 t 4 t 4 + 8 t 2 + 4

Passo 4

Para encontrarmos a aceleração normal, temos que tomar o módulo do produto vetorial entre r → ' e r → ' ' .

Temos:

4 t , ( 2 t 2 - 2 ) × 4,4 t = i j k 4 t 2 t 2 - 2 0 4 4 t 0

Efetuando esse produto vetorial temos:

r → ' × r → ' ' = 0 i → + 0   j → + ( 8 t 2 + 8 )   k →

A norma desse vetor é dado por

r → ' × r → ' ' = 64 t 4 + 128 t 2 + 64

Dessa maneira, a aceleração normal é dada por:

a N = r → ' × r → ' ' | r → ' | = 64 t 4 + 128 t 2 + 64 4 t 4 + 8 t 2 + 4

Resposta

As componentes tangencial e normal do vetor aceleração dado são

a T = 8 t 3 + 8 t 4 t 4 + 8 t 2 + 4

a N = 64 t 4 + 128 t 2 + 64 4 t 4 + 8 t 2 + 4

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