Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 42
Encontre as componentes tangencial e normal do vetor aceleração no ponto dado.
Passo 1
Fala ai galerinha. Vamos para mais uma questão! 😉
O nosso objetivo é calcular as componentes tangencial e a normal do vetor aceleração, sendo que o vetor posição é:
Como resolver isso?
Para as componentes tangencial precisamos encontrar a primeira e a segunda derivada da posição e jogarmos na equação da tangente.
O vetor tangente será o resultado do produto escalar da primeira derivada com a segunda derivada, dividido pelo módulo da primeira derivada.
E o vetor normal da aceleração é a razão entre o produto vetorial entre a primeira e a segunda derivada e o módulo da primeira derivada.
Ou sejam precisamos começar derivar!
É isso. Vamos começar! 😊
Passo 2
Primeiramente vamos calcular a primeira e segunda derivada de r, que é o vetor velocidade
1° Derivada:
Calculando a norma do vetor velocidade é:
2° Derivada:
Passo 3
Podemos agora encontrar o vetor aceleração tangencial da seguinte forma:
O produto escalar entre os dois vetores nos dá:
Dessa forma temos que a aceleração tangencial é:
Passo 4
Para encontrarmos a aceleração normal, temos que tomar o módulo do produto vetorial entre e .
Temos:
Efetuando esse produto vetorial temos:
A norma desse vetor é dado por
Dessa maneira, a aceleração normal é dada por:
Passo 5
Os vetores aceleração tangencial e normal estão em função do tempo. Podemos encontrar o tempo referente ao ponto dado (0,4,4), igualando o vetor a . Facilmente vemos que para , .
O vetor aceleração normal é:
O vetor aceleração tangencial é:
Resposta
As componentes tangencial e normal do vetor aceleração no ponto dado são