Enunciado

Encontre as componentes tangencial e normal do vetor aceleração no ponto dado.

r → t = 1 t i → + 1 t 2 j → + 1 / t 3   k →   ,     ( 1,1 , 1 )

Passo 1

Fala ai galerinha. Vamos para mais uma questão! 😉

O nosso objetivo é calcular as componentes tangencial e a normal do vetor aceleração, sendo que o vetor posição é:

r → t = t i → + 2 e t   j → + e 2 t   k →

Como resolver isso?

Para as componentes tangencial precisamos encontrar a primeira e a segunda derivada da posição e jogarmos na equação da tangente.

O vetor tangente será o resultado do produto escalar da primeira derivada com a segunda derivada, dividido pelo módulo da primeira derivada.

a T = r → ' ⋅ r → ' ' | r → ' |

E o vetor normal da aceleração é a razão entre o produto vetorial entre a primeira e a segunda derivada e o módulo da primeira derivada.

a N = r → ' × r → ' ' | r → ' |

Ou sejam precisamos começar derivar!

É isso. Vamos começar! 😊

Passo 2

Primeiramente vamos calcular a primeira e segunda derivada de r, que é o vetor velocidade

r → t = 1 t i → + 1 t 2 j → + 1 / t 3   k →

1° Derivada:

r → ' t = d d t 1 t i → + 1 t 2 j → + 1 t 3 k →

r → ' t = - 1 t 2 i → , - 2 t 3 j → ,   - 3 t 4 k →

Calculando a norma do vetor velocidade ( r → ' t )   é:

r → ' = 1 t 2 2 + 2 t 3 2 + 3 t 4 2 = t 4 + 4 t 2 + 9 t 4

2° Derivada:

r → ' ' t = 1 t i → + 1 t 2 j → + 1 t 3 k →

r → ' ' t = d d t - 1 t 2 i → , - 2 t 3 j → ,   - 3 t 4 k →

r → ' ' = 2 t 3 i → + 6 t 4   j → + 12 t 5 k →

Passo 3

Podemos agora encontrar o vetor aceleração tangencial da seguinte forma:

a T = r → ' ⋅ r → ' ' | r → ' |

O produto escalar entre os dois vetores nos dá:

- 1 t 2 , - 2 t 3 , - 3 t 4 ⋅ 2 t 3 , 6 t 4 , 12 t 5

= - 2 t 5 - 12 t 7 - 36 t 9

= - 2 t 4 - 12 t 2 - 36 t 9

Dessa forma temos que a aceleração tangencial é:

a T t = - 2 t 4 - 12 t 2 - 36 t 9 ⋅ t 4 t 4 + 4 t 2 + 9

Passo 4

Para encontrarmos a aceleração normal, temos que tomar o módulo do produto vetorial entre r → ' e r → ' ' .

Temos:

- 1 t 2 , - 2 t 3 , - 3 t 4 × 2 t 3 , 6 t 4 , 12 t 5 = i j k - t - 2 - 2 t - 3 - 3 t - 4 2 t - 3 6 t - 4 12 t - 5

Efetuando esse produto vetorial temos:

r → ' × r → ' ' = - 6 t 8 i → + 6 t 7   j → - 2 t 6   k →

A norma desse vetor é dado por

r → ' × r → ' ' = 6 t 8 2 + 6 t 7 2 + 2 t 6 2 = 2 9 + 9 t 2 + t 4 t 8

Dessa maneira, a aceleração normal é dada por:

a N ( t ) = 2 9 + 9 t 2 + t 4 t 8 ⋅ t 4 t 4 + 4 t 2 + 9

Passo 5

Os vetores aceleração tangencial e normal estão em função do tempo. Podemos encontrar o tempo referente ao ponto dado (0,4,4), igualando o vetor r → t = 1 t i → + 1 t 2 j → + 1 t 3   k →   a ( 1,1 , 1 ) . Facilmente vemos que para t = 1 , r → 1 = ( 1,1 , 1 ) .

O vetor aceleração normal é:

a T 1 = - 2 - 12 - 36 1 ⋅ 1 1 + 4 + 9

a T 1 = - 50 1 14

O vetor aceleração tangencial é:

a N 1 = 2 9 + 9 + 1 1 ⋅ 1 1 + 4 + 9

a N 1 = 2 19 14

Resposta

As componentes tangencial e normal do vetor aceleração no ponto dado são

a T ( 1 ) = - 50 1 14

a N ( 1 ) = 2 19 14

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Sejam f → e g → funções vetoriais contínuas em um intervalo I . Mostrar que:b) f → × g → é contínua em I .
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