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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 51

Faça uma conjectura sobre o limite traçando o gráfico da função envolvida com um recurso computacional; verifique sua conjuctura usando a regra de L’Hôpital.

lim x → 0 + ⁡ s e n   x 3 ln ⁡ x

Passo 1

Quando montamos o gráfico dessa função computacionalmente, podemos observar que quando temos x = 0 se aproximando pelo lado positivo, temos y   la na casa dos 20, no entanto, quando x igual a 0 mesma a função vale 1, no entanto estamos proxurando a aproximação por 0 + . Vamos ver se é isso mesmo calculando o limite...

Passo 2

Para podermos aplicar a regra de l’hopital, temos que fazer umas manipulações aqui antes. Me acompanha:

lim x → 0 + ⁡ s e n   x 3 ln ⁡ x

lim x → 0 + ⁡ e l n ⁡ ( s e n   x ) 3 ln ⁡ x

lim x → 0 + ⁡ e 3 ln ⁡ x ln ⁡ s e n x

e lim x → 0 + ⁡ 3 ln ⁡ x ln ⁡ s e n   x

e 3 lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ s e n   x ln ⁡ x

Agora sim podemos aplicar o l’hopital.

e 3 lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x s e n   x 1 x

e 3 lim x → 0 + ⁡ x c o s x s e n x

e 3 lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x × lim x → 0 + ⁡ x s e n x

e 3 × 1 × lim x → 0 + ⁡ x s e n x

Aplicando l’hopital no limite restante temos:

lim x → 0 + ⁡ x s e n x

lim x → 0 + ⁡ 1 cos ⁡ x = 1

Ficamos então com:

e 3 × 1 × 1 = e 3 ≅ 20,08

Opa, então encontramos o valor aproximado que procurávamos!

Resposta

e 3

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