Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 7
Encontre o comprimento da curva para 4 casas decimais. (Use uma calculadora para aproximar a integral.)
Passo 1
Fala ai galerinha. De boa? Preparado para traçar uma curva parametrizada por e calcular o comprimento dessa curva?
Vamos entender um pouco como faremos isso? Se liga! 😊
Para resolver o problema
- Traçamos a curva no plano cartesiano utilizando a parametrização dada.
- Em seguida, verificamos o intervalo de integração para calcular o comprimento da curva;
- Utilizamos a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas:
- Calculamos as derivadas e e substituímos na fórmula.
- Simplificamos a expressão resultante e integramos numericamente no intervalo dado, obtendo o comprimento aproximado.
Agora é só resolver, Bora!
Passo 2
Para a nossa curva, temos:
E os limites de integração foi dado no enunciado
Passo 3
Calculando as derivadas que estão dentro da raíz na integral:
Passo 4
Portanto o comprimento da curva é:
Observamos que a expressão dentro da raiz quadrada é um polinômio de que parece complicado de integrar diretamente. Portanto, precisamos encontrar uma substituição que simplifique essa expressão. A integral pode ser resolvida por uma substituição trigonométrica ou utilizarmos recursos computacionais, obtendo o resultado