Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada?

a_n = 2 + (-1)^n / n

Passo 1

Galerinha, uma função f x é dita monotônica se e somente se f ' ( x ) manter o mesmo sinal para todo x . Além disso, a função pode ser crescente se f x < f ( x + 1 ) para todo x e pode ser decrescente se f x > f ( x + 1 ) para todo x .Vamos ver o nosso caso aqui.

Caso a função não seja nem crescente, nem decrescente nós chamamos de sequência não monotônica, como é o caso de sequências cujos valores oscilam.

Para perceber o comportamento da nossa sequência podemos calcular seus primeiros termos. Depois, para achar se a sequência é limitada precisamos entender se ela tem limite superior e inferior. Podemos fazer isso analisando o comportamento da sequência e calculando seu limite.

Passo 2

Vamos começar definindo se a sequência cresce, decresce ou é não monotônica. Nosso caso aqui é:

f n = 2 + - 1 n n  

Vamos calcular alguns termos da sequência:

Para n = 1 :

f 1 = 2 + - 1 1 1 = 1

Para n = 2 :

f 2 = 2 + - 1 2 2 = 2,5

Para n = 3 :

f 3 = 2 + - 1 3 3 = 1,67

Para n = 4 :

f 4 = 2 + - 1 4 4 = 2,25

Para n = 5 :

f 5 = 2 + - 1 5 5 = 1,8

O fator - 1 n que está na sequência, nos mostra que os termos se alternam. Como calculamos acima, vemos que os termos oscilam entre 1 e 2,5.

Como ela não cresce e nem decresce, ela é uma sequência não monotônica, ou seja, ela não é nem crescente nem decrescente.

Passo 3

Agora vamos finalizar nossa questão. Vamos verificar se essa função é limitada de alguma maneira. Para isso, precisamos calcular o valor do limite da sequência!

lim n → ∞ ⁡ 2 + - 1 n n

O termo - 1 n oscila entre -1 e 1 enquanto n cresce, mas o denominador n cresce muito mais rápido, fazendo com que o termo como um todo se aproxime de zero.

Aplicando o limite, temos:

lim n → ∞ ⁡ 2 + - 1 n n = 2 + 0 = 2

Portanto, a sequência é limitada em 2 !

Mas lembre-se que pra uma sequência ser limitada ela precisa ter limite inferior e superior. Como vimos no passo acima o menor valor que nossa função assume é 1 e conforme cresce ela não passa do valor de 2, que acabamos de achar no limite. Mas ela atinge seu máximo no segundo termo com o valor de 2,5. Então podemos dizer que nossa sequência é limitada inferiormente por 1 e superiormente por 2,5.

Portanto, nossa sequência é limitada!

Resposta

A sequência é limitada e não monotônica.

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