Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 76
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada?
Passo 1
Galerinha, uma função é dita monotônica se e somente se manter o mesmo sinal para todo . Além disso, a função pode ser crescente se para todo e pode ser decrescente se para todo .Vamos ver o nosso caso aqui.
Caso a função não seja nem crescente, nem decrescente nós chamamos de sequência não monotônica, como é o caso de sequências cujos valores oscilam.
Para perceber o comportamento da nossa sequência podemos calcular seus primeiros termos. Depois, para achar se a sequência é limitada precisamos entender se ela tem limite superior e inferior. Podemos fazer isso analisando o comportamento da sequência e calculando seu limite.
Passo 2
Vamos começar definindo se a sequência cresce, decresce ou é não monotônica. Nosso caso aqui é:
Vamos calcular alguns termos da sequência:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
O fator que está na sequência, nos mostra que os termos se alternam. Como calculamos acima, vemos que os termos oscilam entre 1 e 2,5.
Como ela não cresce e nem decresce, ela é uma sequência não monotônica, ou seja, ela não é nem crescente nem decrescente.
Passo 3
Agora vamos finalizar nossa questão. Vamos verificar se essa função é limitada de alguma maneira. Para isso, precisamos calcular o valor do limite da sequência!
O termo oscila entre -1 e 1 enquanto cresce, mas o denominador cresce muito mais rápido, fazendo com que o termo como um todo se aproxime de zero.
Aplicando o limite, temos:
Portanto, a sequência é limitada em !
Mas lembre-se que pra uma sequência ser limitada ela precisa ter limite inferior e superior. Como vimos no passo acima o menor valor que nossa função assume é 1 e conforme cresce ela não passa do valor de 2, que acabamos de achar no limite. Mas ela atinge seu máximo no segundo termo com o valor de 2,5. Então podemos dizer que nossa sequência é limitada inferiormente por 1 e superiormente por 2,5.
Portanto, nossa sequência é limitada!
Resposta
A sequência é limitada e não monotônica.