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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 14

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 2 n + 1   2 n + 1 !

Passo 1

Para encontrarmos o raio de convergência, o primeiro passo é aplicar o teste da razão.

Temos que

a n = ( - 1 ) n   2 2 n + 1   2 n + 1 !

Então, fazemos

a n + 1 = ( - 1 ) n + 1   2 2 n + 2   2 n + 3 !

Passo 2

Assim,

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( - 1 ) n + 1   2 2 n + 3   2 n + 3 ! ⋅ 2 n + 1 ! - 1 n   x 2 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ - 1 x 2 ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 2 ) = x 2 l i m n → ∞ = 1 2 n + 3 2 n + 2 ) = x 2 ⋅ 0 = 0 < 1

Passo 3

Pelo teste da razão, a série ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 2 n + 1   2 n + 1 !

Converge para todo real x .

Passo 4

Então, o raio de convergência

R = ∞

E então, o intervalo de convergência é:

I = - ∞ , ∞

Resposta

R = ∞

I = I = - ∞ , ∞

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