Encontre o comprimento exato da curva.

y = ln(1 - x^2), 0 <= x <= 1/2

Passo 1

Opa! Bora resolver esse problema?! O enunciado pede pra a gente calcular o comprimento exato da seguinte curva:

y = ln ⁡ ( 1 - x 2 ) ,     0 ≤ x ≤ 1 2

O comprimento da curva é dado por:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Vamos derivar a função então:

y = ln ⁡ 1 - x 2

Para isso usamos a regra da cadeia:

y ' = 1 1 - x 2 - 2 x

y ' = - 2 x 1 - x 2

Aplicamos na fórmula agora:

L =   ∫ 0 1 2 1 + - 2 x 1 - x 2 2 d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

L =   ∫ 0 1 2 1 + 4 x 2 1 - x 2 2 d x

L =   ∫ 0 1 2 1 - x 2 2 + 4 x 2 1 - x 2 2 d x

= ∫ 0 1 2 1 + 2 x 2 + x 4 1 - x 2 2 d x

Mas:

1 + 2 x 2 + x 4 = 1 + x 2 2

Então:

∫ 0 1 2 1 + x 2 2 1 - x 2 2 d x = ∫ 0 1 2 1 + x 2 1 - x 2 d x

Podemos usar frações parciais pra reescrever:

1 + x 2 1 - x 2

Fazendo a divisão de polinômio:

Então:

1 + x 2 1 - x 2 = - 1 + 2 1 - x 2

No denominador temos uma diferença de quadrados, então:

1 + 2 1 - x 2 = - 1 + 2 1 - x 1 + x

Podemos usar frações parciais pra fazer:

2 1 - x 1 + x = A 1 - x + B 1 + x

A 1 - x + B 1 + x = A x + 1 + B ( x - 1 ) 1 - x 2 = 2 1 - x 2

A x + 1 + B x - 1 = 2

x A + B + A - B = 2

A + B = 0 → A = - B

A - B = 2 → A = 1

Então:

1 1 - x - 1 1 + x

Passo 3

Chegamos em:

L = ∫ 0 1 2 - 1 + 1 1 - x - 1 1 + x   d x

Vamos resolver cada integral separadamente:

∫ 1 1 - x   d x

Usando integral por substituição:

u = x - 1

d u d x = - 1 → d x = - d u

∫ - 1 u = - ln ⁡ u + C = - ln ⁡ | 1 - x | + C

De modo similar temos:

∫ 1 1 + x   d x = ln ⁡ | 1 + x | + C

Voltando pra integral original com os limites de integração:

L = ∫ 0 1 2 - 1 + 1 1 - x + 1 1 + x   d x = - x - ln ⁡ 1 - x + ln ⁡ 1 + x 0 1 / 2

Vamos aplicar os limites de interação agora:

- x + ln ⁡ 1 - x + ln ⁡ 1 + x 0 1 / 2 = - 1 2 + ln �� 1 2 + ln ⁡ 3 2 - ln ⁡ 1

L = - 1 2 - ln ⁡ 1 2 + ln ⁡ 3 2 - ( 0 + ln ⁡ 1 - ln ⁡ 1 )

Lembrando que:

ln ⁡ 1 = 0

ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 = - ln ⁡ 2

ln ⁡ 3 2 = ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2

Então temos:

L = - 1 2 + ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2

L = - 1 2 + ln ⁡ 3

Resposta

L = - 1 2 + ln ⁡ 3

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