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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 15

Encontre o comprimento exato da curva.

y = (1)/(4) x^2 - (1)/(2) ln x , 1 <= x <= 2

Passo 1

Opa! Bora resolver esse problema?! O enunciado pede pra a gente calcular o comprimento exato da seguinte curva:

y = (1)/(4) x^2 - (1)/(2) ln x , 1 <= x <= 2

O comprimento da curva é dado por:

L = int_a^b sqrt(1 + f^' (x)^2) d x

Vamos derivar a função então:

f (x) = (1)/(4) x^2 - (1)/(2) ln x

f^' (x) = (1)/(2) x - (1)/(2 x)

Aplicamos na fórmula agora:

L = int_1^2 sqrt(1 + ((1)/(2) x - (1)/(2 x))^2) d x

Passo 2

Vamos desenvolver a integral:

L = int_1^2 sqrt(1 + ((1)/(2) x - (1)/(2 x))^2) d x = int_1^2 sqrt(1 + (1)/(4) x^2 - (1)/(2) + (1)/(4 x^2)) d x

L = int_1^2 sqrt((2 x^2 + x^4 + 1)/(4 x^2)) d x

L = int_1^2 sqrt(((x^2 + 1)^2)/(4 x^2))

Agora podemos tirar essa gelara da raiz:

= int_1^2 (x^2 + 1)/(2 x) d x

Temos que:

(x^2 + 1)/(2 x) = (x^2)/(2 x) + (1)/(2 x)

Então:

L = (1)/(2) int_1^2 x + (1)/(x) d x = (1)/(2) (((x^2)/(2) + ln x)|_1^2

Passo 3

Agora a gente aplica os limites de integração:

= (1)/(2) (((x^2)/(2) + ln x)|_1^2 = (1)/(2) ((2^2)/(2) + ln 2 - (1^2)/(2) - ln 1)

= (1)/(2) ((3)/(2) + ln 2)

L = (3)/(4) ln sqrt(2)

Resposta

L = (3)/(4) ln sqrt(2)

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