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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.7 - Ex. 4e

Calcule a área de interseção da região limitada pelas curvas:

ρ = s e n θ

ρ = c o s ⁡ ( θ )

Passo 1

Primeiramente, vamos igualar as funções para descobrir o ponto de interseção entre elas:

cos ⁡ θ = s e n θ

Sabemos que θ = π 4 satisfaz a equação acima

Passo 2

Para facilitar a vizualização, vamos contruir os gráficos superpostos.

Podemos ver que a área entre as duas curvas é a área da curva verde de π 4 até π 2 mais a área da curva preta de 0 até π 4

Passo 3

Sabemos que a fórmula para a área em coordenadas polares é:

0,5 ∫ a b ρ ² d θ

Aplicando os limites de integração:

1 2 ∫ π 4 π c o s 2 θ d θ + 1 2 ∫ 0 π 4 s e n 2 θ d θ

Como cos²( θ ) = 1 2 + c o s 2 θ 2 e sen²( θ ) = 1 2 - cos ⁡ 2 θ 2

1 2 ∫ π 4 π c o s 2 θ d θ + 1 2 ∫ 0 π 4 s e n 2 θ d θ = 1 2 ∫ π 4 π 1 2 + c o s 2 θ 2 d θ + 1 2 ∫ 0 π 4 1 2 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Então vamos resolver a parte ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ com as partes.

Vamos fazer uma substituição simples, chamando

u = 2 θ

d u = 2 d θ

Logo,

∫ cos ⁡ u 4 d u = sin ⁡ u 4

Voltando para variável x e colocando os limites de integração

1 2 ∫ π 4 π 1 2 + c o s 2 θ 2 d θ + 1 2 ∫ 0 π 4 1 2 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = π - 2 8

Resposta

A área vale π - 2 8

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