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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios práticos - Ex. 52

Encontre os comprimentos das curvas dadas pelas equações de coordenadas polares nos Exercícios 51-54.

r = 2 s e n   θ + 2 cos ⁡ θ ; 0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre comprimentos em coordenadas polares.

Para determinarmos o comprimento pedido, usaremos a formulação:

L = ∫ θ 1 θ 2 r 2 + d r d θ 2 d θ

Vamos derivar r em relação a θ:

d r d θ = d d θ 2 s e n   θ + 2 cos ⁡ θ = 2 cos ⁡ θ - 2 s e n   θ

Teremos então que:

L = ∫ 0 π / 2 2 s e n   θ + 2 cos ⁡ θ 2 + 2 cos ⁡ θ - 2 s e n   θ 2 d θ =

= ∫ 0 π / 2 4 s e n 2   θ + 4 s e n   θ cos ⁡ θ + 4 cos 2 ⁡ θ + 4 cos 2 ⁡ θ - 4 s e n   θ cos ⁡ θ + 4 s e n 2   θ d θ =

= ∫ 0 π / 2 8 s e n 2   θ + 8 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π / 2 8 d θ = 2 2 θ | 0 π / 2

Passo 2

Substituindo os limites de integração obtemos:

L = 2 2 π 2 - 0 = π 2

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

π 2

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