Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 25-30.

29. x = 8 * cos(t) + 8 * t * sen(t), y = 8 * sen(t) - 8 * t * cos(t), 0 ≤ t ≤ pi/2

Passo 1

E aí, tudo bem! Bora lá para mais uma questão? Bora!

A questão pede para calcular o comprimento de uma curva e, para isso, temos que usar a fórmula

L = ∫ 0 4 d x d t 2 + d y d t 2 d t

O roteiro é o seguinte: calculamos as derivadas, depois a raiz quadrada e depois a integral. Entendido? Então, vem comigo!

Passo 2

Vamos começar com as derivadas

d x d t = d d t ( 8 c o s t + 8 t   s e n   t ) =   - 8 s e n   t + 8 s e n   t + 8 t c o s t = 8 t c o s t  

d y d t = d d t ( 8   s e n   t - 8 t c o s t ) = 8 c o s t - 8 c o s t + 8 t   s e n   t = 8 t   s e n   t  

A próxima coisa a fazer é calcular a raiz quadrada:

d x d t 2 + d y d t 2 = 64 t 2 c o s 2 t + 64 t 2 s e n 2 t = 6 4 t 2

d x d t 2 + d y d t 2 = 8 t

Passo 3

Por sorte, a raiz quadrada já está bem simplificada. Então, já podemos partir para calcular a integral

L = ∫ 0 4 d x d t 2 + d y d t 2 d t = 8 ∫ 0 4 t   d t = 8 t 2 2 | 0 4

L = 8   ⋅   16 2 = 64

Eu vou ficando por aqui, até a próxima!

Resposta

L = 64

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