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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 11

Nos Exercícios 1-14, encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado de t. Encontre também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto.

11. x = t   -   s e n   t , y = 1 - c o s   t ,   t = π / 3

Passo 1

Fala, galera, e aí! Animados para mais uma questão? Bora lá!

A questão pede para a gente calcular a reta tangente à curva, no ponto dado e também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto. Começamos identificando o ponto, depois calculamos o coeficiente angular da reta usando a fórmula y ' = d y d x = d y / d t d x / d t . Por fim, calculamos a reta tangente.

Em t = π / 3 , nós temos o ponto

x = π 3 -   s e n   π 3 = π 3 - 3 2

e

y = 1 - c o s   π 3 = 1 - 1 2 = 1 2

Ou seja, vamos calcular tudo no ponto ( x , y ) = ( π 3 - 3 2 , 1 2 ) .

Passo 2

Nesse passo, vamos calcular as derivadas:

d x d t = 1   -   c o s   t

d y d t = s e n   t

Assim, conseguimos o coeficiente angular da curva

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t = s e n   t 1   -   c o s   t

Em t = π 3 , esse coeficiente se torna s e n   t 1   -   c o s   t | t = π / 3 = 3 / 2 1 / 2 = 3 . Agora, podemos calcular a reta tangente à curva no ponto ( π 3 - 3 2 , 1 2 ) :

y - 1 2 = 3 ⋅ ( x - π 3 + 3 2 )

⇒ y - 1 2 = - 3 π 3 + 3 2 + 3 x

⇒ y = - 3 π 3 + 2 + 3 x

Passo 3

Agora vamos calcular d 2 y d x 2 . Para isso, vamos usar y ' para calcular

d y ' d t = d d t s e n   t 1   -   c o s   t = c o s   t ( 1   -   c o s t )       -   s e n 2 t ( 1   -   c o s   t ) 2 = c o s   t     -   (   c o s 2 t   +   s e n 2 t ) ( 1   -   c o s   t ) 2

d y ' d t = - ( 1   -   c o s   t   ) ( 1   -   c o s   t ) 2 =   - 1 1   -   c o s   t

Agora, podemos obter

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t = -   1 1   -   c o s   t 1   -   c o s   t =   - 1 ( 1   -   c o s   t ) 2

Agora, a gente aplica t = π / 3 , nós temos

d 2 y d x 2 =   - 1 ( 1   -   c o s   t ) 2 | t = π / 3 =   - 1 ( 1   -   1 / 2 ) 2 =   - 1 1 / 4 =   - 4

Nos vemos na próxima!

Resposta

y = - 3 π 3 + 2 + 3 x

d 2 y d x 2 =   - 4

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