23. Encontre a área delimitada pela elipse:

x = acost, y = b sen t, 0 <= t <= 2pi.

Passo 1

E aí, galerinha! Mais uma questão de cálculo de área.

Como a questão pede a área delimitada pela elipse, temos que usar

A = ∫ 0 2 π y d x

Já temos a expressão para y , então precisamos agora obter d x :

x = a c o s t ⇒ d x =   - a   s e n   t

Passo 2

Agora a gente substitui isso e y , d x na fórmula da área

A = ∫ 0 2 π y d x =   - ∫ 0 2 π a b s e n 2 t   d t

A = - ∫ 0 2 π a b 1   -   c o s 2 t 2   d t =   - a b 2 t - s e n   2 t 2 0 2 π

A = - a b 2 2 π - s e n   4 π 2 - 0 + s e n   0 2 =   - a b π

Prontinho, conseguimos a área da elipse. E aí, gostou?

Resposta

a b π

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