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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 23

23. Encontre a área delimitada pela elipse:

x = a c o s t , y = b s e n t , 0 <= t <= 2 pi .

Passo 1

E aí, galerinha! Mais uma questão de cálculo de área.

Como a questão pede a área delimitada pela elipse, temos que usar

A = int_0^(2 pi) y d x

Já temos a expressão para y , então precisamos agora obter d x :

x = a c o s t => d x = - a s e n t

Passo 2

Agora a gente substitui isso e y , d x na fórmula da área

A = int_0^(2 pi) y d x = - int_0^(2 pi) a b s e n^2 t d t

A = - int_0^(2 pi) a b ((1 - c o s 2 t)/(2)) d t = - (a b)/(2) (t - (s e n 2 t)/(2))_0^(2 pi)

A = - (a b)/(2) (2 pi - (s e n 4 pi)/(2) - 0 + (s e n 0)/(2)) = - a b pi

Prontinho, conseguimos a área da elipse. E aí, gostou?

Resposta

a b pi

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Encontre a área dentro do laço maior e fora do laço menor da limaçon r = 1 2 + cos ⁡ θ
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas r = 3 cos ⁡ θ r = sen ⁡ θ
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas r 2 = sen ⁡ 2 θ r 2 = cos ⁡ 2 θ