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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 27

Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 25-30.

27. x = t 2 / 2 ,   y = ( 2 t + 1 ) 3 / 2 / 3 ,   0 ≤ t ≤ 4

Passo 1

E aí, pessoal! Bora lá para mais uma questão? Vem comigo!

Para calcular o comprimento de uma curva, temos que usar a fórmula

L = ∫ 0 4 d x d t 2 + d y d t 2 d t

Então, o roteiro é o seguinte: calculamos as derivadas, depois a raiz quadrada e depois a integral. Bora lá!

Passo 2

Começando com as derivadas

d x d t = d d t t 2 / 2   =   t

d y d t = d d t 1 3 ( 2 t + 1 ) 3 / 2   = 1 3 3 2 ( 2 t + 1 ) 1 / 2 ⋅ 2 = ( 2 t + 1 ) 1 / 2

Agora, podemos calcular a raiz quadrada:

d x d t 2 + d y d t 2 = t 2 + [ ( 2 t + 1 ) 1 / 2 ] 2 = t 2 + 2 t + 1

⇒ d x d t 2 + d y d t 2 = ( t + 1 ) 2

⇒ d x d t 2 + d y d t 2 = t + 1

Passo 3

Já conseguimos simplificar bem a raiz quadrada, então podemos calcular a integral sem muitos problemas

L = ∫ 0 4 d x d t 2 + d y d t 2 d t = ∫ 0 4 ( t + 1 ) d t =   t 2 2 + t | 0 4

⇒ L =   16 2 + 4 = 24 2

⇒ L =   12

É isso aí, até a próxima!

Resposta

L = 12

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Encontre a área da regiao que e limitada pelas curvas dadas e esta no setor especificado: r = θ 2,0 ≤ θ ≤ π / 4