Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 13-19.

x = 3 * cos(θ) e y = 3 * sen(θ); 0 ≤ θ ≤ (3π / 2)

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre comprimentos de curvas.

Podemos determinar o comprimento da curva pedida utilizando:

L = ∫ θ 1 θ 2 d x d θ 2 + d y d θ 2 d θ

Para isso, vamos derivar x em relação a θ:

d x d θ = - 3 s e n   θ

De modo que:

d x d θ 2 = - 3 s e n   θ 2 = 9 s e n 2   θ

De forma similar, vamos derivar y em relação a θ:

d y d θ = 3 cos ⁡ θ

De modo que:

d y d θ 2 = 3 cos ⁡ θ 2 = 9 cos 2 ⁡ θ

Passo 2

Daí, temos que:

d x d θ 2 + d y d θ 2 = 9 s e n 2   θ + 9 cos 2 ⁡ θ = 3

Aplicando na equação do comprimento da curva, teremos que:

L = ∫ 0 3 π / 2 3 d θ

Logo:

L = 3 3 π 2 - 0 = 9 π 2

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

9 π 2

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