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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.5 - Ex. 26

Encontre os comprimentos das curvas nos exercícios 21-28.

O segmento parabólico r = 2 / ( 1 - cos ⁡ θ ) ,   π / 2 ≤ θ ≤ π .

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto, basta aplicarmos na formula do comprimento de uma curva polar:

L = ∫ α β r 2 + d r d θ 2 d θ

Vamos começar encontrando a derivada de r

d r d θ = d d θ 2 1 - cos ⁡ θ = - 2 s e n   θ 1 - cos ⁡ θ 2

Passo 2

Agora só aplicar na fórmula, já temos os limites, então bora:

L = ∫ π / 2 π 2 1 - cos ⁡ θ 2 + - 2 s e n   θ 1 - cos ⁡ θ 2 2 d θ

L = ∫ π / 2 π 4 1 - cos ⁡ θ 2 + 4 s e n 2 θ 1 - cos ⁡ θ 4   d θ

L = ∫ π / 2 π 2 1 - cos ⁡ θ 1 - cos ⁡ θ 2 + sen 2 ⁡ θ 1 - cos ⁡ θ 2   d θ

L = 2 ∫ π / 2 π 1 1 - cos ⁡ θ 1 - 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ 1 - cos ⁡ θ 2   d θ

Da relação fundamental da trigonometria s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

L = 2 ∫ π / 2 π 1 1 - cos ⁡ θ 2 - 2 cos ⁡ θ 1 - cos ⁡ θ 2   d θ

L = 2 ∫ π / 2 π 1 1 - cos ⁡ θ 2 ( 1 - cos ⁡ θ ) 1 - cos ⁡ θ 2   d θ

L = 2 ∫ π / 2 π 1 1 - cos ⁡ θ 2 1 - cos ⁡ θ   d θ

L = 2 ∫ π / 2 π 2 1 - cos ⁡ θ 3 2   d θ

Das relações trigonométricas 1 - cos ⁡ θ = 2 sen 2 ⁡ θ 2

L = 2 2 ∫ π / 2 π 1 2 sen 2 ⁡ θ 2 3 2   d θ

L = 2 2 2 3 2 ∫ π / 2 π 1 sen ⁡ θ 2 3   d θ

L = ∫ π / 2 π cosse c 3 ⁡ θ 2   d θ

Passo 3

Chegando no final da integral, agora vamos aplicar o método da substituição, tomando

u = θ 2 ⇒ d u = 1 2 d θ e os limites são de π 4 a π 2 :

L = ∫ π 4 π 2 2 cossec 3 ⁡ u   d u

Agora podemos usar a tabela das integrais, pois essa não é uma integral simples,

L = 2 ∫ π 4 π 2 cos sec 3 ⁡ u   d u = 2 - cot ⁡ u c o s s e c   u 2 π 4 π 2 + ln ⁡ cossec ⁡ u - c o t g   u 2 π / 4 π / 2

L = 2 1 2 + 1 2 ln ⁡ 2 + 1

L = 2 + ln ⁡ 1 + 2

Bora pra próximo.

Resposta

L = 2 + ln ⁡ 1 + 2

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