Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 60
Encontre condições em , , e para que o gráfico do polinômio tenha:
(a) exatamente duas tangentes horizontais;
(b) exatamente uma tangente horizontal;
(c) não tenha tangentes horizontais.
Passo 1
Beleza, a reta tangente horizontal acontece quando sua inclinação em um ponto, ou seja, a derivada da função naquele ponto é zero. Então, vamos olhar para a derivada dessa função :
Passo 2
(a) Para que existam duas tangentes horizontais, devem existir dois pontos na função onde a sua derivada é zero. Ou seja, temos que:
Resolvendo por Bhaskara:
Para que existam dois pontos, essa equação deve ter duas raízes e, para que isso aconteça, o delta () deve ser maior que zero!
Então:
Resolvendo a inequação, encontramos essas duas condições:
Supondo positivo, resolvemos a desigualdade normalmente:
Supondo negativo, temos que:
Isso ocorre para qualquer valor de .
Passo 3
(b) Para que exista uma tangente horizontal, deve existir um ponto na função onde a sua derivada é zero. Ou seja, temos que:
Resolvendo por Bhaskara:
Para que exista um ponto, essa equação deve ter uma raiz e, para que isso aconteça, o delta () deve ser igual a zero!
Então:
Resolvendo a equação, encontramos essa condição:
Isso ocorre para qualquer valor de .
Passo 4
(c) Para que não existam tangentes horizontais, não devem existir pontos na função onde a sua derivada é zero. Ou seja, temos que:
Resolvendo por Bhaskara:
Para que não existam pontos, essa equação não deve ter raízes e, para que isso aconteça, o delta () deve ser menor que zero!
Então:
Resolvendo a inequação, encontramos essas duas condições:
Supondo positivo, resolvemos a desigualdade normalmente:
Supondo negativo, temos que:
Isso ocorre para qualquer valor de .
Resposta
(a) e
(b)
(c) e