(a) Encontre , se , ...

(b) Encontre , se , , onde é um número inteiro positivo.

(c) Encontre se

Vamos fazer as primeiras derivadas pra você pegar a ideia da questão:

E assim por diante. Mas lembra que quando derivamos ele na quantidade representada pelo seu grau, o “some”, porque vira na multiplicação, e fica apenas as multiplicações dos expoentes? Então, aqui é a mesma coisa! Quando chegarmos a , teremos apenas as multiplicações. Ou seja, ficaria assim:

(b) Usando as mesmas ideias da letra (a), mas agora estamos derivando além do grau de .

Exemplo: queremos a quarta derivada de . A primeira derivada seria , a segunda seria , a terceira seria e a quarta, estaríamos derivando uma constante, porque já não tem mais ali, ou seja, a quarta derivada seria .

Então, se a gente pega:

Que é uma constante, e deriva mais uma única vez sequer, teríamos também!

Enfim, se , sendo um número inteiro positivo. Quando calculássemos o ,com , encontraríamos :

(c) O raciocínio dessa letra é o mesmo das anteriores, especialmente a (a), porque se tivermos:

E começarmos a derivar, os coeficiente, ’s, vão começar a sumir, pois são constantes. Enquanto isso, o termo vai passar pelo mesmo processo da letra (a), só que com um termo a mais, , agora. No fim das contas, depois de derivar vezes essa função, todos os termos em que o tem um grau menor que terão sumido (viraram constantes que foram derivadas logo em seguida, pois derivamos além do seu grau igual na letra (b)) e sobrarão apenas as multiplicações dos expoentes devido a derivação do termo com , pelo mesmo raciocínio da letra (a) e o termo , que não some.

No fim do dia, ficamos com: