Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 63
Encontre os extremos relativos no intervalo e confirme se seus resultados estão de acordo com o gráfico gerado por um recurso computacional.
Passo 1
Para achar os pontos relativos de vamos encontrar a primeira derivada:
Para temos:
Para temos:
Fazendo vamos ver se possui algum ponto onde podemos:
Temos que não existe em:
E temos pontos críticos em que em:
Passo 2
Agora vamos usar o teste da segunda derivada, vamos agora calcular :
Para :
Para :
Vamos usar o Teste da Derivada Segunda:
Se e , então tem um mínimo relativo em .
Se e , então tem um máximo relativo em .
Se e , então o teste é inconclusivo, isto é, pode ter um máximo ou mínimo relativo em ou nenhum dos dois.
Vamos então achar os valores das segundas derivadas nos pontos críticos, e analisar os sinais:
Para :
Para :
Pelo Teste da Derivada Segunda temos que , , , são pontos de máximo relativo.
Passo 3
Agora vamos usar o Teste da Derivada Primeira para os que deram zero:
Se em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de e em um intervalo aberto imediatamente à direita de , então tem um máximo relativo em .
Se em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de e em um intervalo aberto imediatamente à direita de , então tem um mínimo relativo em .
E se tiver o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de , então não tem extremo relativo em .
Temos então que , e são mínimos relativos.
Resposta
, , , são máximos relativos e , e são mínimos relativos