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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 39

Encontre as coordenadas do centróide da curva:

x = c o s t , y = t + s e n t , 0 <= t <= pi .

Passo 1

E aí, galera! Mais uma questãozinha de centróide para a gente resolver, então, vamos lá!

Essa questão na verdade é bem parecida com a anterior, então vamos seguir mais ou menos o mesmo raciocínio. Vamos usar a fórmula

overset(̄)(x) = (M_y)/(M) , overset(̄)(y) = (M_x)/(M)

onde

M = int_0^(pi) d m

é a massa da curva e

M_x = int_()^() overset(tilde)(y) d m , M_y = int_()^() overset(tilde)(x) d m

são os momentos da curva em relação a x e y .

Vamos considerar que a densidade é delta = 1 , então

d m = 1 * d s = sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t

Então, a gente retorna para uma fórmula parecida com a de cálculo de comprimento da curva

M = int_0^(pi) sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t

Agora já temos tudo que é necessário para resolver a questão. Vamos lá, então!

Passo 2

Para usar as fórmulas do Passo 1, a primeira coisa que temos que fazer é calcular as derivadas

(d x)/(d t) = (d)/(d t) ( c o s t ) = - s e n t

(d y)/(d t) = (d)/(d t) ( t + s e n t ) = 1 + c o s t

Agora, a gente calcula a raiz quadrada:

sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) = sqrt(( - s e n t )^2 + ( 1 + c o s t )^2)

=> sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) = sqrt(s e n^2 t + c o s^2 t + 2 c o s t + 1)

=> sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) = sqrt(2 ( c o s t + 1 ))

Pera aí que isso não ficou muito bonito. Como c o s^2 ( t // 2 ) = (c o s t + 1)/(2) , então

sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) = sqrt(4 c o s^2 ( t // 2 )) = 2 c o s ( t // 2 )

Logo,

=> d m = 2 c o s ( t // 2 ) d t

Agora sim, podemos dar continuidade.

Passo 3

Agora, calculamos as integrais

M = int_0^(pi) d m = 2 int_0^(pi) c o s ( t // 2 ) d t

=> M = 2 * (2 s e n ( (t)/(2) ) |_0^(pi)) = 4 ( 1 - 0 ) = 4

M_x = int_()^() overset(tilde)(y) d m = 2 int_0^(pi) ( t + s e n t ) c o s ( t // 2 ) d t

=> M_x = 2 int_0^(pi) t c o s ( t // 2 ) d t + 2 int_0^(pi) s e n t c o s ( t // 2 ) d t

M_y = int_()^() overset(tilde)(x) d m = 2 int_0^(pi) ( c o s t ) * c o s ( t // 2 ) d t

Vamos resolver as três últimas integrais no próximo passo.

Passo 4

Para resolver a primeira integral, precisamos usar integração por partes:

( i ) int_0^(pi) t c o s ( t // 2 ) d t = 2 t s e n ( t // 2 ) |_0^(pi) - 2 int_0^(pi) s e n ( t // 2 ) d t

=> int_0^(pi) t c o s ( t // 2 ) d t = 2 pi s e n ( pi // 2 ) - 2 * 0 * s e n ( 0 ) + 4 c o s ( t // 2 ) |_0^(pi)

=> int_0^(pi) t c o s ( t // 2 ) d t = 2 pi + 4 c o s ( pi // 2 ) - 4 c o s ( 0 ) = 2 pi - 4

Para as outras duas integrais, precisamos das relações trigonométricas:

s e n t = s e n ( t // 2 ) c o s ( t // 2 ) + c o s ( t // 2 ) s e n ( t // 2 ) = 2 s e n ( t // 2 ) c o s ( t // 2 )

e

c o s t = c o s^2 ( t // 2 ) - s e n^2 ( t // 2 ) = 1 - 2 s e n^2 ( t // 2 )

Então,

( i i ) int_0^(pi) s e n t c o s ( t // 2 ) d t = 2 int_0^(pi) s e n ( t // 2 ) c o s^2 ( t // 2 ) d t

Agora vamos fazer u = c o s ( t // 2 ) -> d u = - (1)/(2) s e n ( t // 2 ) d t . Daí, temos que (lembrando de mudar também os limites de integração)

2 int_0^(pi) s e n ( t // 2 ) c o s^2 ( t // 2 ) d t = - 4 int_1^0 u^2 d u = 4 * ((1)/(3) u^3 |_0_^1) = (4)/(3)

=> 2 int_0^(pi) s e n t c o s ( t // 2 ) d t = (4)/(3)

Finalmente, vamos para a última integral

( i i i ) 2 int_0^(pi) ( c o s t ) * c o s ( t // 2 ) d t = 2 int_0^(pi) (1 - 2 s e n^2 ( t // 2 )) c o s ( t // 2 ) d t

=> 2 int_0^(pi) ( c o s t ) * c o s ( t // 2 ) d t = 2 int_0^(pi) c o s ( t // 2 ) d t - 4 int_0^(pi) s e n^2 ( t // 2 ) c o s ( t // 2 ) d t

=> 2 int_0^(pi) ( c o s t ) * c o s ( t // 2 ) d t = 2 * (2 s e n ( t // 2 ) |_0^(pi)) - 4 * (2 int_0^(1 ) u^2 d u)

onde utilizamos a seguinte substituição u = s e n ( t // 2 ) -> d u = (1)/(2) c o s ( t // 2 ) d t e t = 0 -> u = 0 ; t = pi -> u = 1 .

Por fim, temos o seguinte resultado

2 int_0^(pi) ( c o s t ) * c o s ( t // 2 ) d t = 4 - 8 ((u^3)/(3) |_0^1) = 4 - (8)/(3) = (4)/(3)

Passo 5

Prontinho, agora podemos calcular os momentos e o centróide. Vem comigo!

M_x = 2 int_0^(pi) t c o s ( t // 2 ) d t + 2 int_0^(pi) s e n t c o s ( t // 2 ) d t = 4 pi - 8 + (8)/(3)

M_x = 4 pi + (8 - 24)/(3) = 4 pi - (16)/(3)

M_y = int_()^() overset(tilde)(x) d m = 2 int_0^(pi) ( c o s t ) * c o s ( t // 2 ) d t = (4)/(3)

Agora só falta dividir pela massa:

overset(̄)(x) = (M_y)/(M) = ((4)/(3))/(4) = (1)/(3)

overset(̄)(y) = (M_x)/(M) = (4 pi - (16)/(3))/(4) = pi - (4)/(3)

Finalmente, hein? Bom, descansa um pouquinho aí e nos vemos na próxima!

Resposta

overset(̄)(x) = (1)/(3)

overset(̄)(y) = pi - (4)/(3)

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