Encontre as coordenadas do centróide da curva:

x = e^t \* cos t, y = e^t \* sen t, 0 <= t <= pi .

Passo 1

Fala, galera! Estão confusos com essa questão de centróide? Tudo bem, não precisa se preocupar. Vamos resolver essa juntos!

Como essa questão é bem parecida com a anterior, podemos seguir mais ou menos o mesmo raciocínio. Para obter as coordenadas do centróide, vamos usar as fórmulas

x ̄ = M y M ,   y ̄ = M x M

onde

M = ∫ 0 π d m

é a massa da curva e

M x = ∫ y ~   d m ,   M y = ∫ x ~   d m

são os momentos da curva em relação a x e y .

Considerando que a densidade da curva seja δ = 1 , temos

d m = 1 ⋅ d s = d x d t 2 + d y d t 2 d t

Então, ficamos com

M = ∫ 0 π d x d t 2 + d y d t 2 d t

Isso foi só um aquecimento, vamos resolver a questão nos próximos passos. Vem comigo!

Passo 2

A primeira coisa que temos que fazer é calcular as derivadas

d x d t = d d t ( e t c o s   t ) = e t c o s   t - e t s e n   t  

d y d t = d d t (   e t s e n   t   ) =   e t c o s   t + e t s e n   t  

Agora, a gente calcula a raiz quadrada:

d x d t 2 + d y d t 2 = ( e t c o s   t + e t s e n   t ) 2 + ( e t c o s   t - e t s e n   t ) 2

d x d t 2 + d y d t 2 = e t ( c o s 2   t + s e n 2   t + 2   c o s   t   s e n   t ) + ( c o s 2   t + s e n 2   t   - 2 c o s   t   s e n   t )

⇒ d m = d x d t 2 + d y d t 2 = e t 2 ( c o s 2   t + s e n 2   t ) = 2 e t

Passo 3

Agora, podemos calcular a integral da massa

M = ∫ 0 π d x d t 2 + d y d t 2 d t = 2 ∫ 0 π e t d t

M = 2 e t | 0 π = 2 ( e π - 1 )

Calculando os momentos

M x = ∫ 0 π e t s e n   t   2 e t d t = 2 ∫ 0 π e 2 t s e n   t   d t

  M y = 2 ∫ 0 π e 2 t c o s   t   d t

Essas duas integrais a gente resolve por partes duas vezes. Vamos fazer a primeira:

∫ 0 π e 2 t c o s   t   d t = e 2 t s e n   t | 0 π - 2 ∫ 0 π e 2 t s e n   t   d t = e π s e n   π - e 0   s e n   0 - 2 - e 2 t c o s   t   | 0 π + 2 ∫ 0 π e 2 t c o s   t   d t

∫ 0 π e 2 t c o s   t   d t = 0 + 2 e 2 π c o s   π - 2 e 0 c o s   0 - 4 ∫ 0 π   e 2 t c o s   t   d t = - 2 e 2 π - 2 - 4 ∫ 0 π e t c o s   t   d t

Agora, a gente “passa” a integral do lado direito pro lado esquerdo da igualdade

5 ∫ 0 π e 2 t c o s   t   d t = - 2 e 2 π - 2   ⇒ ∫ 0 π e 2 t c o s   t   d t = - 2 e 2 π   +   1 5

Vamos fazer a mesma coisa para a outra integral

∫ 0 π e 2 t s e n   t   d t =   - e 2 t c o s   t | 0 π + 2 ∫ 0 π e 2 t c o s   t   d t

∫ 0 π e 2 t s e n   t   d t =   - e 2 π c o s   t   π + e 0 c o s   t   0 - 2 - e 2 t s e n   t   | 0 π + 2 ∫ 0 π   e 2 t s e n   t   d t

∫ 0 π e 2 t s e n   t   d t = e 2 π + 1 + 2 e 2 π s e n   π - 2 e 0   s e n   0 - 4 ∫ 0 π e 2 t s e n   t   d t = e π + 1 - 4 ∫ 0 π e 2 t s e n   t   d t

⇒ 4 ∫ 0 π e t s e n   t   d t = e 2 π + 1 ⇒ ∫ 0 π e 2 t s e n   t   d t = e 2 π   +   1 5

Assim, ficamos com

M x = 2 ∫ 0 π e 2 t s e n   t   d t = 2 e 2 π   +   1 5

  M y = 2 ∫ 0 π e 2 t c o s   t   d t = - 2 2 e 2 π   +   1 5

Passo 4

Por último, mas não menos importante, dividimos os momentos pela massa da curva para obter as coordenadas do centróide:

x ̄ = M y M = - 2 2 e 2 π + 1 5 2 ( e π - 1 ) = - 2 5 e 2 π   +   1 e π   -   1

Ufa, essa foi um pouquinho complicada, né? Mas nós conseguimos, uhuu!

Resposta

x ̄ = - 2 5 e 2 π   +   1 e π   -   1

  y ̄ = 1 5 e 2 π   +   1 e π   -   1

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