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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 38

Encontre as coordenadas do centróide da curva:

x = e^t c o s t , y = e^t s e n t , 0 <= t <= pi .

Passo 1

Fala, galera! Estão confusos com essa questão de centróide? Tudo bem, não precisa se preocupar. Vamos resolver essa juntos!

Como essa questão é bem parecida com a anterior, podemos seguir mais ou menos o mesmo raciocínio. Para obter as coordenadas do centróide, vamos usar as fórmulas

overset(̄)(x) = (M_y)/(M) , overset(̄)(y) = (M_x)/(M)

onde

M = int_0^(pi) d m

é a massa da curva e

M_x = int_()^() overset(tilde)(y) d m , M_y = int_()^() overset(tilde)(x) d m

são os momentos da curva em relação a x e y .

Considerando que a densidade da curva seja delta = 1 , temos

d m = 1 * d s = sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t

Então, ficamos com

M = int_0^(pi) sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t

Isso foi só um aquecimento, vamos resolver a questão nos próximos passos. Vem comigo!

Passo 2

A primeira coisa que temos que fazer é calcular as derivadas

(d x)/(d t) = (d)/(d t) ( e^t c o s t ) = e^t c o s t - e^t s e n t

(d y)/(d t) = (d)/(d t) ( e^t s e n t ) = e^t c o s t + e^t s e n t

Agora, a gente calcula a raiz quadrada:

sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) = sqrt(( e^t c o s t + e^t s e n t )^2 + ( e^t c o s t - e^t s e n t )^2)

sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) = e^t sqrt(( c o s^2 t + s e n^2 t + 2 c o s t s e n t )^() + ( c o s^2 t + s e n^2 t - 2 c o s t s e n t )^())

=> d m = sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) = e^t sqrt(2 ( c o s^2 t + s e n^2 t )^()) = sqrt(2) e^t

Passo 3

Agora, podemos calcular a integral da massa

M = int_0^(pi) sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t = sqrt(2) int_0^(pi) e^t d t

M = sqrt(2) e^t |_0^(pi) = sqrt(2) ( e^(pi) - 1 )

Calculando os momentos

M_x = int_0^(pi) e^t s e n t sqrt(2) e^t d t = sqrt(2) int_0^(pi) e^(2 t) s e n t d t

M_y = sqrt(2) int_0^(pi) e^(2 t) c o s t d t

Essas duas integrais a gente resolve por partes duas vezes. Vamos fazer a primeira:

int_0^(pi) e^(2 t) c o s t d t = e^(2 t) s e n t |_0^(pi) - 2 int_0^(pi) e^(2 t) s e n t d t = e^(pi) s e n pi - e^0 s e n 0 - 2 [- e^(2 t) c o s t |_0^(pi) + 2 int_0^(pi) e^(2 t) c o s t d t]

int_0^(pi) e^(2 t) c o s t d t = 0 + 2 e^(2 pi) c o s pi - 2 e^0 c o s 0 - 4 int_0^(pi) e^(2 t) c o s t d t = - 2 e^(2 pi) - 2 - 4 int_0^(pi) e^t c o s t d t

Agora, a gente “passa” a integral do lado direito pro lado esquerdo da igualdade

5 int_0^(pi) e^(2 t) c o s t d t = - 2 e^(2 pi) - 2 => int_0^(pi) e^(2 t) c o s t d t = - (2 (e^(2 pi) + 1))/(5)

Vamos fazer a mesma coisa para a outra integral

int_0^(pi) e^(2 t) s e n t d t = - e^(2 t) c o s t |_0^(pi) + 2 int_0^(pi) e^(2 t) c o s t d t

int_0^(pi) e^(2 t) s e n t d t = - e^(2 pi) c o s t pi + e^0 c o s t 0 - 2 [- e^(2 t) s e n t |_0^(pi) + 2 int_0^(pi) e^(2 t) s e n t d t]

int_0^(pi) e^(2 t) s e n t d t = e^(2 pi) + 1 + 2 e^(2 pi) s e n pi - 2 e^0 s e n 0 - 4 int_0^(pi) e^(2 t) s e n t d t = e^(pi) + 1 - 4 int_0^(pi) e^(2 t) s e n t d t

=> 4 int_0^(pi) e^t s e n t d t = e^(2 pi) + 1 => int_0^(pi) e^(2 t) s e n t d t = (e^(2 pi) + 1)/(5)

Assim, ficamos com

M_x = sqrt(2) int_0^(pi) e^(2 t) s e n t d t = sqrt(2) ((e^(2 pi) + 1)/(5))

M_y = sqrt(2) int_0^(pi) e^(2 t) c o s t d t = - 2 sqrt(2) ((e^(2 pi) + 1))/(5)

Passo 4

Por último, mas não menos importante, dividimos os momentos pela massa da curva para obter as coordenadas do centróide:

overset(̄)(x) = (M_y)/(M) = (- 2 sqrt(2) ((e^(2 pi) + 1))/(5))/(sqrt(2) ( e^(pi) - 1 )) = - (2)/(5) (e^(2 pi) + 1)/(e^(pi) - 1)

Ufa, essa foi um pouquinho complicada, né? Mas nós conseguimos, uhuu!

Resposta

overset(̄)(x) = - (2)/(5) (e^(2 pi) + 1)/(e^(pi) - 1)

overset(̄)(y) = (1)/(5) (e^(2 pi) + 1)/(e^(pi) - 1)

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