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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 42

a. Mostre que a fórmula cartesiana

L = ∫ c d 1 + d x d y 2 d y

para o comprimento da curva x = g ( y ) ,   c ≤ y ≤ d (Seção 6.3, Equação 4), é um caso especial da fórmula paramétrica para comprimento

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

Utilize esse resultado para encontrar o comprimento de cada curva.

b. x = y 3 / 2 ,   0 ≤ y ≤ 4 / 3

c. x = 3 2 y 2 / 3 ,   0 ≤ y ≤ 1

Passo 1

Fala, galera! Temos uma questão um pouquinho longa pela frente, então bora logo com essa!

a. No primeiro item, temos que mostrar que as duas fórmulas para o comprimento de uma curva são equivalentes. Primeiramente, vamos usar a regra da cadeia para escrever

d x d t = d x d y d y d t

Assim, a raiz quadrada fica

d x d t 2 + d y d t 2 = d x d y 2 d y d t 2 + d y d t 2 = d y d t 2 d x d y 2 + 1

⇒ d x d t 2 + d y d t 2 d t = d y d t d t 1 + d x d y 2 = 1 + d x d y 2 d y

A última coisa que falta é trocar os limites de integração. Quando t = a → y = c e quando t = b → y = d . Assim,

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t = ∫ c d 1 + d x d y 2 d y

Nos próximos passos, vamos justamente aplicar esse resultado.

Passo 2

b. Para x = y 3 / 2 ,   0 ≤ y ≤ 4 / 3 , temos

d x d y = 3 2 y 1 / 2 ⇒ 1 + d x d y 2 = 1 + 9 4 y

Assim,

L = ∫ 0 4 / 3 1 + d x d y 2 d y = ∫ 0 4 / 3 1 + 9 4 y d y

L = 4 9 ⋅ 2 3 ⋅ 1 + 9 4 y 3 / 2 | 0 4 / 3 = 8 27 1 + 9 4 ⋅ 4 3 3 / 2 - 1

L = 8 27 4 3 / 2 - 1 = 8 27 8 - 1 = 56 27

Passo 3

c. Para x = 3 2 y 2 / 3 ,   0 ≤ y ≤ 1 , temos

d x d y = 3 2 ⋅ 2 3 y - 1 / 3 = 1 y 1 / 3

⇒ 1 + 1 y 1 / 3 2 = 1 + 1 y 2 / 3

Então,

L = ∫ 0 1 1 + 1 y 2 / 3 d y

Fazendo a mudança

u = 1 y 2 / 3 ⇒ d u = - 2 3 1 y 5 / 3 d y

⇒ d y = - 3 2 y 5 / 3 d u   = - 3 2 u - 3 / 2 5 / 3 d u  

⇒ d y =   - 3 2 u - 5 / 2 d u  

Assim, quando y = 0 →   u → ∞ e y = 1 → u = 1 e substituindo a relação acima, ficamos com:

L = ∫ 0 1 1 + 1 y 2 / 3 d y   = - 3 2 ∫ ∞ 1 1 + u   u - 5 / 2 d u  

⇒ L =   3 2 ∫ 1 ∞     1   +   u u 5 1 / 2 d u  

Passo 4

Fazendo a mudança

w = u 1 / 2 ⇒ d w = 1 2 u - 1 / 2 d u

⇒ d u =   2 w   d w

Assim, quando u = 1 →   w = 1 e u → ∞   → w → ∞   e substituindo a relação acima, ficamos com:

L =   3 2 ∫ 1 ∞     1   +   u u 5 1 / 2 d u = 3 2 ⋅ 2 ∫ 1 ∞     1 w 5 1   +   w 2 1 / 2 w d w

⇒ L = 3 ∫ 1 ∞     1 w 4 1   +   w 2 1 / 2 d w = 3 ∫ 1 ∞     1   +   w 2 w 8 1 / 2 d w

Por fim, vamos fazer mais uma mudança,

w = t g   x   ⇒   d w = s e c 2 x   d x

⇒ 3 ∫ 1   +   t g 2 x t g 8 x 1 / 2 s e c 2 x   d x   = 3 ∫ s e c   x t g 4 x   s e c 2 x   d x   = 3 ∫ c o s 4 x s e n 4 x   ⋅ 1 c o s 3 x   d x    

⇒ 3 ∫ 1   +   t g 2 x t g 8 x 1 / 2 s e c 2 x   d x   = 3 ∫ c o s x s e n 4 x   d x   = 3 - 1 3 1 s e n 3 x + C  

⇒ 3 ∫ 1   +   t g 2 x t g 8 x 1 / 2 s e c 2 x   d x   = 3 ∫ c o s x s e n 4 x   d x   = - 1 s e n 3 x + C

Passo 5

Ufa, nem acredito. Estamos quase lá. Voltando pra w , temos o seguinte resultado

w 2   =   s e n 2 x 1 - s e n 2 x   ⇒   w 2 - w 2 s e n 2 x   =   s e n 2 x   ⇒ s e n   x = w 1 + w 2

Logo,

1 s e n 3 x = ( 1 + w 2 ) 3 / 2 w 3 = 1   +   w 2 w 2 3 / 2

Assim, temos

L = - 1   +   w 2 w 2 3 / 2 | 1 ∞   = -   1   + 2 3 / 2 = 2 2 - 1

Aeee, galera! Finalizamos com sucesso. Eu vou ficando por aqui, nos vemos a próxima!

Resposta

b. L = 56 27

c. L = 2 2 - 1

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