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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.5 - Ex. 4

Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 1-8

Dentro da cardioide r = a 1 + cos ⁡ θ ,   a > 0 .

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto de aplicação, só precisamos botar na fórmula do calculo da área a partir da integral.

A = ∫ β α 1 2 r 2 d θ

Nossos limites da cardioide são de 0 a 2 π , portanto só substituir:

A = ∫ 0 2 π 1 2 ( a 1 + cos ⁡ θ ) 2 d θ = ∫ 0 2 π a 2 2 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ

A = a 2 2 ∫ 0 2 π 1 d θ + ∫ 0 2 π 2 cos ⁡ θ d θ + ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ

Abrindo o cos 2 ⁡ θ :

A = a 2 2 ∫ 0 2 π 1 d θ + ∫ 0 2 π 2 cos ⁡ θ d θ + ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ θ 2 d θ

A = a 2 2 ∫ 0 2 π 3 2 d θ + ∫ 0 2 π 2 cos ⁡ θ d θ + ∫ 0 2 π 1 2 cos ⁡ θ d θ

A = a 2 2 3 2 θ + 2 s e n   θ + 1 4 s e n   2 θ 0 2 π

A = a 2 2 3 2 ⋅ 2 π + 0 + 0 = 3 2 a 2 π

Bora para mais uma.

Resposta

A = 3 2 a 2 π

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