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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.1 - Ex. 24

Em que pontos os gráficos das funções no Exercícios 23 e 24 têm tangentes horizontais.

g x = x 3 - 3 x

Passo 1

A primeira parte é relembrar como se calcula o coeficiente angular da curva

m = lim h → 0 ⁡ g x 0 + h - g x 0 h

Passo 2

Substituindo a função g x na equação acima:

m = lim h → 0 ⁡ x + h 3 - 3 x + h - x 3 - 3 x h

Como o exercício pede a tangente horizontal, devemos lembrar que o m deve ser igual a 0 nesses casos

0 = lim h → 0 ⁡ x + h 3 - 3 x + h - x 3 - 3 x h

Passo 3

Agora podemos abrir o x + h 3 , lembrando que a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 , ok?

0 = lim h → 0 ⁡ x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 - 3 x + h - x 3 - 3 x h

0 = lim h → 0 ⁡ x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 - 3 x - 3 h - x 3 + 3 x h

0 = lim h → 0 ⁡ 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 - 3 h h

Passo 4

Em seguida cortamos o termo h

0 = lim h → 0 ⁡ 3 x 2 + 3 x h + h 2 - 3 = 3 x 2 + 3 x ∙ 0 + 0 2 - 3 = 3 x 2 - 3

0 = 3 x 2 - 3

Isolando o x :

3 x 2 = 3

x = ± 1

Passo 5

Agora que encontramos os valores de x , podemos encontrar os valores de f x

f x = x 3 - 3 x

f 1 = 1 3 - 3 ∙ 1 = 1 - 3 = - 2

f - 1 = ( - 1 ) 3 - 3 - 1 = - 1 + 3 = 2

Prontinho, os pontos no gráfico que temos tangentes horizontais são 1 , - 2 e ( - 1,2 ) .

Resposta

1 , - 2 e ( - 1,2 )

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