Encontre f .

f''(θ) = sen(θ) + cos(θ), f(0) = 3, f'(0) = 4

Passo 1

Fala meus consagrados!

Nessa questão temos uma segunda derivada de uma função:

f ' ' θ = s e n   θ + cos ⁡ θ

E queremos encontrar a função f ( θ ) .

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f :

F ' x = f x

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f :

F x + C

onde C é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a F x não muda em nada sua derivada.

Aqui vai nos ajudar saber a regra de antiderivada da função seno e da função cosseno:

s e n x = - cos ⁡ x '

cos ⁡ x = s e n x '

Também vai ajudar saber a regra da antiderivada para a constante e para o polinômio:

K = K x '

Os valores que foram dados que são:

f 0 = 0

f ' 0 = 4

Vão ser usados para se encontrar as constantes C e D que irão aparecer.

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada duas vezes, vamos lá!

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f ' ' ( θ ) . Para isso, utilizaremos as regras de derivação de funções trigonométricas, ficando com

f ' ' θ = s e n   θ + cos ⁡ θ

Para o primeiro termo teremos:

sen ⁡ θ = - c o s θ '

E para o segundo termo temos:

cos ⁡ θ = sen ⁡ θ '

Agora somando tudocom uma constante temos:

f ' θ = - cos ⁡ θ +   s e n   θ + C

Derivando f ' ( θ ) , temos

f ' ' θ = s e n   θ + cos ⁡ θ

Dessa forma, f ' ( θ ) é a antiderivada de f ' ' ( θ ) .

Passo 3

Encontrando agora a antiderivada de f ' ( θ ) , temos

f ' θ = - cos ⁡ θ +   s e n   θ + C

Para o primeiro termo temos:

- c o s θ = - sen ⁡ θ '

Já para o segundo termo temos:

sen ⁡ θ = cos ⁡ θ '

E para o último termo temos:

C = C x '

Agora somando tudo com uma outra constante temos:

f θ = - s e n   θ - cos ⁡ θ + C x + D

Derivando f ( θ ) , temos

f ' θ = - cos ⁡ θ +   s e n   θ + C

Dessa forma, f ( θ ) é a antiderivada de f ' ( θ ) .

Passo 4

Aplicando agora as condições do problema, podemos encontrar o valor das constantes C e D . Aplicando f ' 0 = 4 , temos

f ' θ = - cos ⁡ θ +   s e n   θ + C

f ' 0 = - cos ⁡ 0 +   s e n   0 + C

C = 5

Aplicando   f 0 = 3 , temos

f θ = - s e n   θ - cos ⁡ θ + 5 x + D

f 0 = - s e n   0 - cos ⁡ 0 + 5 0 + D

D = 4

Resposta

f θ = - s e n   θ - cos ⁡ θ + 5 x + 4

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