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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 52

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 49-52 para y como uma função de x .

x 2 + 1 2 d y d x = x 2 + 1 ,   y 0 = 1

Passo 1

Vamos primeiro passar tudo relacionado a x para um lado e o que não for pro outro.

∫ d y = ∫ x 2 + 1 d x x 2 + 1 2

Integrando o lado esquerdo:

y = ∫ x 2 + 1 d x x 2 + 1 2

Passo 2

Vamos agora fazer uma mudança de variável trigonométrica:

x = tan ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

Colocando na integral:

y = ∫ x 2 + 1 d x x 2 + 1 2 = ∫ tan ⁡ θ 2 + 1 sec 2 ⁡ θ d θ tan ⁡ θ 2 + 1 2 = ∫ tan 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ θ + 1 2

Lembrando das relações trigonométricas:

sec 2 ⁡ θ = tan 2 ⁡ θ + 1

Substituindo na equação:

y = ∫ tan 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ θ + 1 2 = ∫ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ sec 2 ⁡ θ 2 = ∫ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ sec 4 ⁡ θ = ∫ d θ sec ⁡ θ

Passo 3

Calculando a integral:

y = ∫ d θ sec ⁡ θ = ∫ cos ⁡ θ d θ = sin ⁡ θ + C

Revertendo para a variável original:

y = sin ⁡ θ + C = sin ⁡ arctan ⁡ x + C = x 1 + x 2 1 + x 2 + C = x x 2 + 1 + C

Passo 4

Vamos substituir o ponto dado na equação encontrada:

y 0 = 1 = 0 0 2 + 1 + C

C = 1 - 0 0 2 + 1 = 1

Fim!!!

Resposta

y = x x 2 + 1 + 1

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