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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 47

Encontre f .

f ' ' x = x - 2 ,               x > 0 ,             f 1 = 0 ,           f 2 = 0

Passo 1

Fala aeee, bora pra mais uma?

Nessa questão temos uma segunda derivada de uma função:

f ' ' x = x - 2

E queremos encontrar a função f ( x ) .

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f :

F ' x = f x

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f :

F x + C

onde C é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a F x não muda em nada sua derivada.

Aqui vai nos ajudar saber a regra da antiderivada para a constante e para o polinômio:

K = K x '

x n = x n + 1 n + 1 '

Agora, tem uma condição aqui! n deve ser diferente de - 1 .

Quando temos o termo:

x - 1 = 1 x

Temos que lembrar que a função que quando derivada resulta em 1 / x é o logaritmo natural, logo:

x - 1 = ln ⁡ x '

E não se esqueça de colocar o argumento do l n em módulo, pois não existe l n de número negativo.

Os valores que foram dados que são:

f 1 = 0

f ( 2 ) = 0

Vão ser usados para se encontrar as constantes C e D que irão aparecer.

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada duas vezes, vamos lá!

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f ' ' ( x ) . Para isso, utilizaremos a regra da potência, ficando com

f ' ' x = x - 2

Para o único termo, teremos:

x - 2 = x - 1 - 1 '

Juntando isso com uma constante teremos:

f ' x = - x - 1 + C

Derivando f ' ( x ) , temos

f ' ' x = x - 2

Dessa forma, f ' ( x ) é a antiderivada de f ' ' ( x ) .

Passo 3

Encontrando agora a antiderivada de f ' ( x ) , temos

f ' x = - x - 1 + C

Para o primeiro termo teremos:

- x - 1 = - 1 x = - ln ⁡ x '

Para o segundo termo teremos:

C = C x '

Agora juntando tudo com uma nova constante teremos:

f x = - ln ⁡ x + C x + D

Derivando f ( x ) , temos

f ' x = - x - 1 + C

Dessa forma, f ( x ) é a antiderivada de f ' ( x ) .

Passo 4

Aplicando agora as condições do problema, podemos encontrar o valor das constantes C e D . Aplicando f 1 = 0 , temos

f x = - ln ⁡ x + C x + D

f 1 = - ln ⁡ 1 + C + D

C = - D

Aplicando f 2 = 0 , temos

f x = - ln ⁡ x + C x + D

f 2 = - ln ⁡ 2 + 2 C - C

C = ln ⁡ 2

D = - ln ⁡ 2

Resposta

f x = - ln ⁡ x + ln ⁡ 2 x - ln ⁡ 2

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