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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 51

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 49-52 para y como uma função de x .

x 2 + 4 d y d x = 3 ,   y 2 = 0

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é passar tudo relacionado a x para um lado e o que não for pro outro.

∫ d y = 3 ∫ d x x 2 + 4

Integrando o lado esquerdo:

y = 3 ∫ d x x 2 + 4

Passo 2

Vamos agora fazer uma mudança de variável trigonométrica:

x = 2 tan ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d x = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Colocando na integral:

y = 3 ∫ d x x 2 + 4 = 3 ∫ 2 sec 2 ⁡ θ d θ 2 tan ⁡ θ 2 + 4 = 6 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ 4 tan 2 ⁡ θ + 4 = 6 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ 4 tan 2 ⁡ θ + 1

Lembrando das relações trigonométricas:

sec 2 ⁡ θ = tan 2 ⁡ θ + 1

Substituindo na equação:

y = 6 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ 4 tan 2 ⁡ θ + 1 = 6 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ 4 sec 2 ⁡ θ = 6 4 ∫ d θ

Passo 3

Calculando a integral:

y = 3 2 ∫ d θ = 3 θ 2 + C

Revertendo para a variável original:

y = 3 θ 2 + C = 3 arctan ⁡ x 2 2 + C

Passo 4

Vamos substituir o ponto dado na equação encontrada:

y 2 = 0 = 3 arctan ⁡ 2 2 2 + C

C = - 3 arctan ⁡ 1 2 = - 3 2 ∙ π 4 = - 3 π 8

Prontinho!!!

Resposta

y = 3 arctan ⁡ x 2 2 - 3 π 8

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