Encontre o limite

lim h → 0 ⁡ 1 h ∫ x x + h ln ⁡ t d t

Passo 1

Precisamos descobrir o valor desse limite aí. Vamos pensar um pouco. Isso parece com a definição de derivada, lembra?

F ' x = lim h → 0 ⁡ F x + h - F x h

Comparando as duas expressões, isso nos leva a pensar que:

F x + h - F x = ∫ x x + h ln ⁡ t d t

Dá para abrir essa integral desse jeito:

F x + h - F x = ∫ x 1 ln ⁡ t d t + ∫ 1 x + h ln ⁡ t   d t

Mas lembra que se a gente inverter a ordem de integração, invertemos o sinal da integral?

F x + h - F x = ∫ 1 x + h ln ⁡ t   d t - ∫ 1 x ln ⁡ t d t

E essa relação a faz todo sentido se:

F x = ∫ 1 x ln ⁡ t d t

Então a gente pode dizer que:

lim h → 0 ⁡ 1 h ∫ x x + h ln ⁡ t d t = F ' ( x )

E a gente consegue calcular a derivada dessa função pelo teorema fundamental do cálculo:

F ' x = d ∫ 1 x ln ⁡ t d t d x = ln ⁡ x

Logo:

lim h → 0 ⁡ 1 h ∫ x x + h ln ⁡ t d t = ln ⁡ x

Resposta

ln ⁡ x

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