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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.10 - Ex. 46

Encontre o limite

underset(h -> 0)(lim) (1)/(h) int_x^(x + h) ln t d t

Passo 1

Precisamos descobrir o valor desse limite aí. Vamos pensar um pouco. Isso parece com a definição de derivada, lembra?

F^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (F (x + h) - F (x))/(h)

Comparando as duas expressões, isso nos leva a pensar que:

F (x + h) - F (x) = int_x^(x + h) ln t d t

Dá para abrir essa integral desse jeito:

F (x + h) - F (x) = int_x^1 ln t d t + int_1^(x + h) ln t d t

Mas lembra que se a gente inverter a ordem de integração, invertemos o sinal da integral?

F (x + h) - F (x) = int_1^(x + h) ln t d t - int_1^x ln t d t

E essa relação a faz todo sentido se:

F (x) = int_1^x ln t d t

Então a gente pode dizer que:

underset(h -> 0)(lim) (1)/(h) int_x^(x + h) ln t d t = F ' ( x )

E a gente consegue calcular a derivada dessa função pelo teorema fundamental do cálculo:

F^' (x) = (d (int_1^x ln t d t))/(d x) = ln x

Logo:

underset(h -> 0)(lim) (1)/(h) int_x^(x + h) ln t d t = ln x

Resposta

ln x

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