Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.8 - Ex. 1
Uma população de protozoários se desenvolve a uma taxa de crescimento relativa constante de por membro por dia. No dia zero, a população consistia em dois membros. Encontre o tamanho da população depois de sete dias.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar o tamanho da população de protozoários depois de dias, sabendo que essa população se desenvolve a uma taxa de crescimento constante de por membro por dia e que no dia zero, a população tinha apenas dois membros.
Observe que nós temos um problema com taxa de crescimento relativa, que é a taxa de crescimento dividida pela população. Se chamarmos a população de protozoários em função do tempo () em dias e sendo a taxa de crescimento relativa, teremos:
Que também pode ser escrita como:
Toda vez que nos deparamos com uma função do tipo devemos saber que as únicas soluções desse tipo de equação diferencial são as exponenciais do tipo . No nosso caso, se a população no tempo for , teremos:
Então, o que nós vamos fazer é identificar as variáveis do problema e substituir na equação, para . Vamos lá!
Passo 2
O enunciado já nos deu a taxa de crescimento relativa, então temos:
Além disso, como o valor inicial da população é de dois membros, usando a equação , em , temos:
E depois de sete dias, com , teremos:
Isso significa que após sete dias, a população de protozorário é aproximadamente membros.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉