Os programas CAS têm comandos para trabalhar com a maioria das funções não elementares importantes. Verifique seu manual para informações sobre a função erro [veja a Fórmula (12)] e, então, faça o seguinte.

(a) Gere o gráfico de

(b) Use o gráfico para fazer uma conjectura sobre a existência e a localização de possíveis máximos e mínimos relativos de

(c) Verifique sua conjectura em (b) usando a derivada de

(d) Use o gráfico para fazer uma conjectura sobre a existência e a localização de possíveis pontos de inflexão de

(e) Verifique sua conjectura em (d) usando a derivada segunda de

(f) Use o gráfico para fazer uma conjectura sobre a existência de assíntotas horizontais de

(g) Verifique sua conjectura em (f) usando o CAS para encontrar os limites de quando .

(b) Olhando o gráfico, não conseguimos identificar nenhum ponto onde há algo parecido com um morro ou um vale.

Por isso a gente pode dizer que não visualizou nenhum ponto de máximo ou mínimo relativo.

(c) A função tem essa cara:

Usamos a parte 2 do teorema fundamental do cálculo para achar a derivada dela:

Os máximos e mínimos relativos de uma função ocorrem em . Mas repara que a derivada de nunca chega a ser igual a zero, por ser um exponencial natural.

Assim, não há realmente máximos e mínimos relativos.

(d) O ponto de inflexão é onde o gráfico muda de concavidade, e isso acontece, visualmente, só em .

(e) Os pontos de inflexão acontecem em . Vamos calcular a derivada segunda de pela regra da cadeia:

Vemos que essa derivada segunda só zera em , logo esse é o único ponto de inflexão mesmo. 😊

(f) Vemos que o gráfico se aproxima muito de e , mas não chega a passar por esses pontos. Então podemos esperar que essas são assíntotas horizontais para .

(g) Usando a calculadora CAS do Geogebra, vemos que:

Isso confirma para gente a existência de assíntotas em e .