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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 46

Encontre (d y)/(d x) :

y = a r c cos (c o s ( x ))

Passo 1

Para derivar uma função trigonométrica desse tipo, vamos considerar que u é uma função diferenciável de x , permitindo que a Regra da Cadeia produza uma versão generalizada para resolver essa diferencial:

(d)/(d x) [cos^(- 1) ( u )] = (- 1)/(sqrt(1 - u^2)) . (d u)/(d x)

Considerando nossa função :

y = a r c c o s ( c o s ( x ) )

Que pode ser escrita assim:

y = cos^(- 1) ( c o s ( x ) )

Considerando que:

u = c o s ( x )

(d u)/(d x) = (d)/(d x) [c o s ( x )] = - s e n ( x )

Aplicando na fórmula, temos que:

(d)/(d x) = (- 1)/(sqrt(1 - (c o s ( x ))^2)) . - s e n ( x )

Por propriedade trigonométrica 1 - cos^2 (x) = s e n^2 ( x ) :

(d)/(d x) = (- 1)/(sqrt((s e n ( x ))^2)) . - s e n ( x )

Podemos substituir pela propriedade que diz que : root(y)(x^y ) = |x| .

(d)/(d x) = (- 1)/(|s e n ( x )|) . - s e n ( x )

Reorganizando:

(d)/(d x) = (s e n ( x ))/(|s e n ( x )|)

Resposta

(d)/(d x) = (s e n ( x ))/(|s e n ( x )|)

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