Para derivar uma função trigonométrica desse tipo, vamos considerar que
u
é uma função diferenciável de
x
, permitindo que a Regra da Cadeia produza uma versão generalizada para resolver essa diferencial:
(d)/(d x) [cos^(- 1) ( u )] = (- 1)/(sqrt(1 - u^2)) . (d u)/(d x)
Considerando nossa função :
y = a r c c o s ( c o s ( x ) )
Que pode ser escrita assim:
y = cos^(- 1) ( c o s ( x ) )
Considerando que:
u = c o s ( x )
(d u)/(d x) = (d)/(d x) [c o s ( x )] = - s e n ( x )
Aplicando na fórmula, temos que:
(d)/(d x) = (- 1)/(sqrt(1 - (c o s ( x ))^2)) . - s e n ( x )
Por propriedade trigonométrica
1 - cos^2 (x) = s e n^2 ( x )
:
(d)/(d x) = (- 1)/(sqrt((s e n ( x ))^2)) . - s e n ( x )
Podemos substituir pela propriedade que diz que :
root(y)(x^y ) = |x| .
(d)/(d x) = (- 1)/(|s e n ( x )|) . - s e n ( x )
Reorganizando:
(d)/(d x) = (s e n ( x ))/(|s e n ( x )|)