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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 47

Encontre (d y)/(d x) :

y = a r c tg (x^3)

Passo 1

Para derivar uma função trigonométrica desse tipo, vamos considerar que u é uma função diferenciável de x , permitindo que a Regra da Cadeia produza uma versão generalizada para resolver essa diferencial:

:

(d)/(d x) [tg^(- 1) ( u )] = (1)/(1 + u^2) . (d u)/(d x)

Considerando nossa função :

y = a r c t g ( x^3 )

Que pode ser escrita assim:

y = tg^(- 1) ( x^3 )

Considerando que:

u = x^3

(d u)/(d x) = (d)/(d x) [x^3] = 3 x^2

Aplicando na fórmula, temos que:

(d)/(d x) [tg^(- 1) ( u )] = (1)/(1 + u^2) . (d u)/(d x)

(d)/(d x) [tg^(- 1) ( x^3 )] = (1)/(1 + (x^3)^2) . ( 3 x^2 )

Reorganizando:

(d)/(d x) [tg^(- 1) ( x^3 )] = (3 x^2)/(1 + x^6)

Resposta

(d)/(d x) [tg^(- 1) ( x^3 )] = (3 x^2)/(1 + x^6)

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