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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 50

Encontre (d y)/(d x) :

y = (1)/(a r c t g ( x ))

Passo 1

Para derivar uma função trigonométrica desse tipo, vamos considerar que u é uma função diferenciável de x , permitindo que a Regra da Cadeia produza uma versão generalizada para resolver essa diferencial:

y = (1)/(a r c t g ( x )) = (1)/(t g^(- 1) ( x ))

Para derivar uma função trigonométrica desse tipo, usaremos a fórmula que diz que:

(d)/(d x) [( tg^(- 1) ( x ) )^(- 1)] = - (t g^(- 1) (x))^(- 2) . (d)/(d x) [ t g^(- 1) ( x ) ]

Antes de aplicar os termos na fórmula, vamos resolver a derivada:

(d [ t g^(- 1) (x) ])/(d x) = (d [x])/(d x) . (1)/(1 + x^2) = (1)/(1 + x^2)

Aplicando na fórmula, temos que:

(d)/(d x) [( tg^(- 1) ( x ) )^(- 1)] = - (t g^(- 1) (x))^(- 2) . (1)/(1 + x^2)

Simplificando:

(d)/(d x) [( tg^(- 1) ( x ) )^(- 1)] = - (1)/((t g^(- 1) (x))^2 . ( 1 + x^2 ))

Resposta

(d)/(d x) [( tg^(- 1) ( x ) )^(- 1)] = - (1)/((t g^(- 1) (x))^2 . ( 1 + x^2 ))

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