Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.9 - Ex. 35
Encontre .
Passo 1
Fala aí. Tudo certinho por aí?
Bom, essa questão dá pra gente a função
E pede pra gente encontrar . Que na verdade é sua antiderivada mais geral.
Para isso, precisamos lembrar que a antidevada é o processo inverso da derivação.
Então, sabemos que uma função é chamada de antiderivada de em um intervalo se:
para todo em .
E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de em é:
onde é uma constante qualquer.
Pronto, então para achar a antiderivada, temos que achar uma função que derivando nós encontramos .
Passo 2
Vamos começar procurando a função que ao derivarmos resulta em
Para isso, utilizaremos a tabela de antiderivadas da seção .
Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de . Para isso, utilizaremos a regra de derivação de funções trigonométricas, ficando com
Passo 3
Derivando , temos
Dessa forma, encontramos nossa função que é a antiderivada de , onde é uma constante.
Podemos encontrar o valor da constante utilizando a condição dada. Aplicando , temos
Assim vemos que a função que estamos procurando é dada por:
E prontinho.