Enunciado

Encontre f .

f ' t = 2 cos ⁡ t + sec 2 ⁡ t ,           - π 2 < t < π 2 ,             f π 3 = 4

Passo 1

Fala aí. Tudo certinho por aí?

Bom, essa questão dá pra gente a função

f ' t = 2 cos ⁡ t + sec 2 ⁡ t ,           - π 2 < t < π 2 ,             f π 3 = 4

E pede pra gente encontrar f . Que na verdade é sua antiderivada mais geral.

Para isso, precisamos lembrar que a antidevada é o processo inverso da derivação.

Então, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F ' x = f x

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F x + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então para achar a antiderivada, temos que achar uma função que derivando f nós encontramos F .

Passo 2

Vamos começar procurando a função que ao derivarmos resulta em

f ' t = 2 cos ⁡ t + sec 2 ⁡ t ,           - π 2 < t < π 2 ,             f π 3 = 4

Para isso, utilizaremos a tabela de antiderivadas da seção 4.9 .

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f ' ( t ) . Para isso, utilizaremos a regra de derivação de funções trigonométricas, ficando com

f ' x = 2 cos ⁡ t + sec 2 ⁡ t

f t = 2 sen ⁡ t + tan ⁡ t + C

Passo 3

Derivando f ( t ) , temos

f ' t = 2 cos ⁡ t + sec 2 ⁡ t

Dessa forma, encontramos nossa função f que é a antiderivada de f ' ( t ) , onde C é uma constante.

Podemos encontrar o valor da constante C utilizando a condição dada. Aplicando f π 3 = 4 , temos

f π 3 = 2 3 2 + 3 + C

C = 4 - 2 3

Assim vemos que a função que estamos procurando é dada por:

f x = 2 sen ⁡ t + tan ⁡ t + 4 - 2 3

E prontinho.

Resposta

f x = 2 sen ⁡ t + tan ⁡ t + 4 - 2 3

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