Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 47

47 – 50 Encontre e .

47.

Passo 1

Oiee galerinha

A função é uma função composta, onde uma função é aplicada a outra função. Neste caso, temos a função trigonométrica como a função interna, e a função trigonométrica como a função externa.

A regra da cadeia é uma ferramenta fundamental do cálculo diferencial usada para diferenciar funções compostas.

Afirma que a derivada de uma função composta é o produto da derivada da função externa pela derivada da função interna.

Matematicamente, se

Passo 2

Ao resolver essa questão, aplicamos a regra da cadeia para encontrar a derivada da função composta em relação a .

Isso envolve derivar a função externa mantendo a função interna constante, e então multiplicar pela derivada da função interna.

Para encontrar a segunda derivada, ou seja, aplicamos novamente a regra da cadeia à primeira derivada obtida.

Isso nos permite calcular a taxa de variação da taxa de variação da função original em relação a o que representa a concavidade da curva representada por

Passo 3

Aplicando a derivada na função, temos:

Essa é uma função composta, então devemos usar a regra da cadeia para conseguir resolver, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

Queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

Nesse caso, temos que a função de fora, a externa, é o cosseno:

Sua derivada é:

Passo 4

Já a função de dentro, a interna, é

Para derivar também precisa da regra da cadeia.

Então a derivada de fora vezes a derivada de dentro fica:

A primeira derivada dessa função fica:

Como

Passo 5

Agora vamos derivar mais uma vez, para encontrarmos a segunda derivada:

Vamos usar a regra do produto:

Passo 6

Precisamos encontrar o valor das derivadas que aparece na expressão, a primeira delas é:

Usando a regra da cadeia:

A função de fora, a externa, é o seno:

Sua derivada é:

E a função de dentro, a interna, também é o seno:

Porém essa também é uma função composta, então precisamos usar a regra da cadeia mais uma vez para derivar esse termo:

Passo 7

Derivando derivada da função de fora vezes a derivada da função de dentro:

Então a primeira derivada que aparece na nossa expressão para fica:

Como :

Passo 8

A segunda derivada ali é mais simples de resolver, precisamo da regra da cadeia, mas é uma função mais simples. A derivada da função de fora é o seno: