Encontre k se a curva y = x^2 + k for tangente à reta y = 2x

Passo 1

Cara, se uma curva é tangente à outra, elas se tocam em um único ponto, certo? Bom, então vamos encontrar esse ponto! É só igualar as duas equações:

y = x 2 + k

E

y = 2 x

x 2 + k = 2 x → x 2 - 2 x + k = 0

Uuh, surgiu uma equação do segundo grau aqui, a mão do Bhaskara chega a tremer. Bora resolver isso aí!

Passo 2

Então, nós temos uma equação do segundo grau, cuja raiz será justamente o ponto em comum às duas curvas! Resolvendo essa equação:

x 2 - 2 x + k = 0

Usando Bhaskara:

- b ± b 2 - 4 a c 2 a = 2 ± 4 - 4 k 2

Bom, mas e agora? Como continuar com aquele k ali? Então, lembra que eu disse que se uma curva é tangente à outra, elas se tocam em apenas um ponto? Ou seja, elas têm um único ponto em comum.

Ok, e se a raiz da equação é justamente esse ponto em comum, essa equação que achamos só pode ter uma única raiz!! Para que isso aconteça, o delta ( ∆ = b 2 - 4 a c ) deve ser 0 . Heheh então só falta igualar esse delta a 0 .

Passo 3

Vamos achar o valor desse k de uma vez por todas:

∆ = 4 - 4 k

E, para que as curvas sejam tangentes:

∆ = 4 - 4 k = 0

k = 1

Essa é a nossa resposta!!

Resposta

k = 1

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