Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 53
Encontre a coordenada do ponto no gráfico de no qual a reta tangente é paralela à reta secante que corta a curva em e .
Passo 1
Bom, se a reta tangente à curva deve ser paralela à reta que corta a mesma curva nos pontos e , elas devem possuir a mesma inclinação! Vale lembrar, também, que a inclinação da reta tangente à curva em um ponto é a derivada da mesma curva naquele mesmo ponto. E queremos a coordenada desse ponto. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar essa reta que corta em e . Bom, se ela corta a curva nesses pontos, ela também passa por eles, certo? Substituindo e no encontramos os pares ordenados e . Nossa reta deve passar por esses pontos e podemos usar essa equação para achar ela:
Essa é a equação da nossa reta. E substituindo os pontos que achamos:
Resolvendo o sistema, vamos multiplicar a primeira equação por e somar com a segunda:
E, substituindo esse valor em qualquer uma das duas equações, achamos:
Com isso, nossa reta secante é:
Passo 3
Bom, se nossa reta tangente deve a mesma inclinação que a reta secante, sua inclinação é (valor de ). E isso quer dizer que a derivada da função no ponto que queremos deve ser também!
Calculando a derivada de :
E já que a derivada deve ser :
Essa é justamente a coordenada que o problema pediu!