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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 23

Um projétil é disparado com uma velocidade escalar inicial de 200   m / s e o ângulo de elevação de 60 ° . Determine (a) o alcance do projétil, (b) a altura máxima atingida e (c) a velocidade escalar no impacto.

Passo 1

Para podermos começar a questão, precisamos inicialmente obter a função posição da nossa partícula. A mesma descreve uma trajetória inclinada, isto é, possui uma componente velocidade em x , o qual não está sujeito a ação de forças, e uma componente em y que está sujeito a aceleração da gravidade para baixo.

Desta forma, podemos utilizar as leis da física para obter a seguinte função posição:

r t = v 0 cos ⁡ 60 ° t i + v 0 sen ⁡ 60 ° t - g t 2 2 j

Como v 0 = 200   m / s e g = 9,81   m / s 2 , temos então a seguinte função posição:

r t = 100 t i + 100 3 t - 4,905 ⋅ t 2 j

Agora, já podemos partir para a nossa questão!

Passo 2

O alcance do nosso objeto irá ocorrer quando a posição da partícula no eixo y , relacionada ao vetor j , for nula. Portanto,

100 3 t - 4,905 ⋅ t 2 = 0

t 4,905 ⋅ t - 100 3 = 0

Portanto, obtemos que t = 35,3 s . Ao substituirmos este tempo na posição x da partícula, obtemos que o alcance é:

A l c a n c e = 100 ⋅ 35,3 = 3530   m

Passo 3

A altura máxima ocorrerá quando a taxa de variação da altura for igual a 0! Em outras palavras, isto quer dizer que, quando a velocidade no eixo y for igual a 0, teremos a nossa altura máxima.

Seja então a seguinte componente em y da velocidade:

v y = ( r y ) '

v y = 100 3 - 9,81 t

Quando v y = 0 , temos t = 17,65   s . Portanto, a altura máxima será

r y 17,65 = 100 3 ⋅ 17,65 - 4,905 ⋅ 17,65 2

r y 17,65 = 1529   m

Passo 4

A velocidade escalar será dada pela norma do vetor velocidade. Portanto, precisamos obter inicialmente o vetor velocidade. Desta forma,

v t = r ' t

v t = 100 i + 100 3 - 9,81 ⋅ t j

Logo,

v t = 100 2 + 100 3 - 9,81 ⋅ t 2

O impacto ocorrerá quando t = 35,3   s . Portanto, a velocidade escalar será

v 35,3 = 100 2 + 100 3 - 9,81 ⋅ 35,3 2

v 35,3 = 199,89   m / s

Resposta

  1. A l c a n c e = 3530   m
  2. A l t u r a   m á x i m a = 1529   m
  3. v 35,3 = 199,89   m / s
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