Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 23
Um projétil é disparado com uma velocidade escalar inicial de e o ângulo de elevação de . Determine (a) o alcance do projétil, (b) a altura máxima atingida e (c) a velocidade escalar no impacto.
Passo 1
Para podermos começar a questão, precisamos inicialmente obter a função posição da nossa partícula. A mesma descreve uma trajetória inclinada, isto é, possui uma componente velocidade em , o qual não está sujeito a ação de forças, e uma componente em que está sujeito a aceleração da gravidade para baixo.
Desta forma, podemos utilizar as leis da física para obter a seguinte função posição:
Como e , temos então a seguinte função posição:
Agora, já podemos partir para a nossa questão!
Passo 2
O alcance do nosso objeto irá ocorrer quando a posição da partícula no eixo , relacionada ao vetor , for nula. Portanto,
Portanto, obtemos que . Ao substituirmos este tempo na posição da partícula, obtemos que o alcance é:
Passo 3
A altura máxima ocorrerá quando a taxa de variação da altura for igual a 0! Em outras palavras, isto quer dizer que, quando a velocidade no eixo for igual a 0, teremos a nossa altura máxima.
Seja então a seguinte componente em da velocidade:
Quando , temos . Portanto, a altura máxima será
Passo 4
A velocidade escalar será dada pela norma do vetor velocidade. Portanto, precisamos obter inicialmente o vetor velocidade. Desta forma,
Logo,
O impacto ocorrerá quando . Portanto, a velocidade escalar será