Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.8 - Ex. 20
Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais.
Passo 1
Fala meu querido!
Nessa questão temos a seguinte equação:
E queremos encontrar a sua raiz, isso é, o valor de para o qual:
De forma que nossa função a qual queremos encontrar a raíz é portanto:
E queremos encontrar todas as suas raízes.
Para isso vamos usar um método iterativo que é o método de Newton.
Basicamente, nós começamos com um chute inicial para essa raiz.
E para encontrar o próximo valor, faremos a seguinte iteração:
O enunciado pede para encontrarmos com uma precisão de seis casas decimais, dessa forma, teremos que ir realizando iterações até que o valor encontrado não se altere até a sexta casa decimal.Dá trabalho? Dá... mas a vida é uma sopa e você tá de garfo :0
Passo 2
No nosso método iterativo, temos que:
Dessa forma, precisamos da derivada de
Para achar a derivada de vamos usar algumas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:
Vamos calcular :
Que é o mesmo que:
Derivando...
Passo 3
Pronto, agora que temos é só jogar na fórmula de Newton:
Vamos agora analisar qual valor usar para .
Para isso, podemos usar a seguinte estratégia. Queremos que:
Isso é o mesmo que:
O gráfico de é conhecido. O gráfico de pode ser obtido a partir do gráfico de transladado em unidade para cima.
Dessa forma, vamos esboçar ambos os gráficos e verificar em quais pontos eles se encontram, ou seja, em quais pontos .
Esses são também pontos onde , que é o que queremos!
Percebemos que essas funções se encontram próximas de e .
Vamos usar esses valores para chutes iniciais e encontrar quais são as verdadeiras raízes.
Passo 4
Primeiro para :
Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
Passo 5
Agora com , sei que é cansativo mas vamos lá:
Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
Resposta
As raizes da equação são e .