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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 17

Encontre d y // d x por derivação implícita.

tg^(- 1) (x^2 y) = x + x y^2

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão qure que calculemos a derivada (d y)/(d x) da seguinte equação utilizando derivação implícita:

tg^(- 1) (x^2 y) = x + x y^2

Para isso, devemos derivar ambos os lados da equação e fazer algumas manipulações de forma que isolemos a derivada (d y)/(d x) (ou y^' ).

Se ainda não entendeu, vamos juntos que vai ficar melhor!! 😉

Ah, antes é importante lembrarmos de uma regrinha de derivação que pode nos ajudar aqui.

A regra da cadeia, onde:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Agora bora lá!!

Passo 2

Primeiro passo é derivar ambos os lados da função em relação a x , assim:

(d)/(dx) ( tg^(- 1) (x^2 y) ) = (d)/(d x) (x + x y^2)

Fazendo a derivada da direita pela regra da cadeia:

(d)/(d x) ( t g^(- 1) (x^2 y) ) = (d)/(d u) t g^(- 1) (u) * (d)/(d x) (x^(2 y)) :.

(d)/(d x) ( t g^(- 1) (x^2 y) ) = (1)/(1 + (x^2 y)^2) (x^2 y^' + y * 2 x)

Fazendo a derivada da esquerda:

(d)/(d x) (x + x y^2) = 1 + x * 2 y y^' + y^2 * 1

Igualando o resultado que descobrimos das duas derivadas, temos:

(1)/(1 + (x^2 y)^2) (x^2 y^' + y * 2 x) = 1 + x * 2 y y^' + y^2 * 1

Passo 3

Agora, vamos arrumar a equação, e isolarmos y ' , então, ficamos com:

(x^2)/(1 + x^4 y^2) y^' - 2 x y y^' = 1 + y^2 - (2 x y)/(1 + x^4 y^2) :.

y^' ((x^2)/(1 + x^4 y^2) - 2 x y) = 1 + y^2 - (2 x y)/(1 + x^4 y^2)

E então,

y^' = (1 + y^2 - (2 x y)/(1 + x^4 y^2))/((x^2)/(1 + x^4 y^2) - 2 x y)

E ajeitando mais um pouquinho:

y^' = (1 + x^4 y^2 + y^2 + x^4 y^4 - 2 x y)/(x^2 - 2 x y - 2 x^5 y^3)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y^' = (1 + x^4 y^2 + y^2 + x^4 y^4 - 2 x y)/(x^2 - 2 x y - 2 x^5 y^3)

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Use a derivação implícita para determinar d y // d x em x y = c o t g ( x y )
Use a derivação implícita para determinar d y // d x em x + t g ( x y ) = 0
Use a derivação implícita para determinar d y // d x em x^2 (x - y)^2 = x^2 - y^2
Use a derivação implícita para determinar d y // d x em x^4 + s e n ( y ) = x^3 y^2
Use a derivação implícita para determinar d y // d x em x cos ( 2 x + 3 y ) = y s e n ( x )