Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 26
Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão pede pra gente encontrar uma equação para a reta tangente à curva no ponto dado, sendo ela:
Para isso precisaremos usar a implícita, dada a expressão.
Ou seja, precisaremos da derivada de em relação a . Mas na expressão que temos, o não está isolado na igualdade. E nós não conseguimos fazer com que ele fique isolado. É por isso que precisaremos fazer uma derivação implícita.
A ideia aqui será derivar ambos os lados da equação em relação a , assim:
E depois, tentaremos isolar a própria derivada na expressão resultante. Aí teremos a inclinação da reta tangente que o enunciado pediu.
Depois basta usarmos a equação geral da reda dada por:
Onde será a inclinação da reta.
Vem comigo que vou te mostra como fazer tudo isso.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da função em relação a , assim:
Isso nos deixa com a equação:
Perfeito.
Passo 3
Agora, vamos arrumar a equação, e isolarmos , então, ficamos com:
E então,
Passo 4
Agora, precisamos substituir os pontos dados:
Nós temos que: . Assim,
Isso implica que:
então uma equação da reta tangente
Será:
ou
E prontinho. Questão resolvida.