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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 56

Encontre a derivada da função. Simplifique onde for possível.

R ( t ) = arcsen  ⁡ 1 t

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos a derivada da função dada.Para isso, vamos utilizar o método da derivação implícita. Logo, vamos derivar os dois lados da equação:

R ( t ) = arcsen  ⁡ 1 t d d t R ( t ) = d d t arcsen  ⁡ 1 t

Passo 2

Então, devemos aplicar a regra da cadeia para 1 / t . Sabemos que a derivada do arcsen ⁡ t é dada por:

d d u arcsen ⁡ u = 1 1 - u 2  

E sabemos que a derivada de u = 1 t será dada como:

d u d t = - 1 t 2

Substituindo tudo, ficamos assim:

R ' ( t ) = d d u arcsen ⁡ u d u d t

R ' ( t ) = 1 1 - 1 t 2   - 1 t 2

Organizando os termos, descobrimos que:

R ' t = - 1 t ² t 2 - 1 t 2

R ' t = - t 2 t ² t 2 - 1

R ' t = - 1 t t 2 - 1

Resposta

R ' t = - 1 t t 2 - 1

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