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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 5

Encontre (d y)/(d x) por derivação implícita:

x^2 y + 3 x y^3 - x = 3

Passo 1

Para começarmos, vamos derivar implicitamente por x ambos os lados da nossa igualdade:

(d)/(d x) [ x^2 y + 3 x y^3 - x ] = (d)/(d x) [ 3 ]

Podemos abrir a soma e constantes para fora:

(d)/(d x) [x^2 y] + 3 * (d)/(d x) [x y^3] - (d)/(d x) [ x ] = 0

(d)/(d x) [x^2 y] + 3 * (d)/(d x) [x y^3] = 1

Passo 2

Pela regra do produto:

((d)/(d x) [x^2] * y + x^2 * (d)/(d x) [y]) + 3 * ((d)/(d x) [x] * y^3 + x * (d)/(d x) [y^3]) = 1

2 x y + x^2 * (d)/(d x) [y] + 3 y^3 + 3 x * (d)/(d x) [y^3] = 1

Agora, pela regra da cadeia:

x^2 * (d [y])/(d y) * (d y)/(d x) + 3 x * (d [y^3])/(d y) * (d y)/(d x) = 1 - 2 x y - 3 y^3

( x^2 + x * 9 y^2 ) * (d y)/(d x) = 1 - 2 x y - 3 y^3

(d y)/(d x) = (1 - 2 x y - 3 y^3)/(x^2 + 9 x y^2)

Resposta

(d y)/(d x) = (1 - 2 x y - 3 y^3)/(x^2 + 9 x y^2)

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